对多视觉几何中出现的运算做出分析和解释

在多视角几何中，特别是在一些恢复相机运动轨迹的模型中，我们需要将相机的旋转和平移表示出来。通常情况下，我们都是在欧几里得空间中用R和t来进行相应的运算得到相机轨迹。然而，在很多论文中，作者们却喜欢用Lie algebra se(3)、so(3) 以及 Lie group SE(3)、SO(3) 之类的表示。紧接着，出现了很多术语，比如twist, tangent space，也出现了一些运算，比如exp(),log()之类的，看得我是云里雾里。

自然要问为啥通过指数运算能够把角速度映射到旋转矩阵，它的背后又有什么样的物理意义，这中间是否有一些尽量直观的解释。

本篇博客将从最基础的内容出发，用直观的容易理解的方式对旋转矩阵和李代数之间的关系进行推导，如有错误，请指出，希望共同进步。

预备知识：

在进入正题之前，我们先需要复习下向量叉积（cross product），以及反对称矩阵(skew symmetric matrix)，在计算机视觉中最初遇到这些概念应该是在求解本征矩阵时，然而，他们在沟通刚体变换矩阵和李代数之间扮演着十分重要的作用。

 

 

至于什么是刚体变换，什么是旋转矩阵，旋转矩阵有哪些性质这些更基础的知识在这里不再一一补充。

下面的内容中，都是基于3维空间，所以没有特别说明时，所说的旋转矩阵都是3*3的，平移向量也是3维的。并且所有向量上带一个帽子的表示的是它的反对称矩阵形式。

旋转矩阵与 so(3)：

我们知道对于旋转矩阵，旋转矩阵本身乘以它的转置等于单位矩阵：

 

 

上式中的约束表示R是旋转矩阵。由前面的推导公式三知道如果R是单位矩阵，那它的导数就是一个反对称矩阵，所以只有反对称矩阵组成的空间，即 so(3)，我们称之为在在单位矩阵处的正切空间tangent space.为什么称为正切呢？回忆二维曲线在某处的导数是一条切线。对于这个三维球面，那么它的导数应该是个切面。如下图所示，图片来源于tangent space 的 wiki：

 

可是对于那些不是单位矩阵的旋转矩阵R该怎么找在他们位置处的正切空间呢？由公式3我们知道，在反对称矩阵的右边乘以R就能够得到R的导数，所以在非单位矩阵的R处的正切空间就是反对称矩阵乘以R就行了。
指数映射：

回到公式(3)，把旋转矩阵R用x替换掉，如下：

 

 

刚体变换和SE(3)：

前面还只说了旋转，实际上刚体变换还有平移。所以，和只有旋转矩阵构成的李群SO(3) 一样，我们也可以有由刚体变换得到的李群SE(3) :

 

 

到这里基本理清了SE,SO之类的与刚体变换之间的关系，看视觉SLAM类的论文以及相应代码中有关lie部分应该没啥压力了。

各种论文里涉及到的求解位姿矩阵时的非线性最小二乘优化（牛顿法，LM法），其中增量都是在单位矩阵处的tangent space se(3)上计算，获得的增量(即相邻位姿变换关系)通过指数映射映射回多面体SE(3)上。

通过这种方式，能够避免奇异点，保证很小的变换矩阵也能够表示出来。这一段引用自论文《Scale Drift-Aware Large Scale Monocular SLAM》。

这篇博文可以说是我看慕尼黑工大(TUM)多视角几何教学视频的笔记，YouTube链接点击这里，这位牛的飞老师的英语吐字清晰，大家应该能够听懂。当然，老师也是参看的别人的文档，这里我也把讲lie 和计算机视觉的两个文档传到了csdn上，供大家下载。