基于新阈值函数的小波阈值去噪算法

小波变换以其多分辨率分析的特性，在时频域内良好的表征信号的能力以及大小固定形状可变的窗口等特点，广泛应用于图像去噪中，并得到了很好的去噪效果。而小波阈值去噪法是小波分析法在图像去噪众多应用中最常用的一种方法，利用阈值处理后的小波系数进行小波反变换重构出去噪后的结果图像。在小波阈值去噪法中的两个重要的因素—阈值选取方式和阈值函数，直接决定图像去噪的效果，所以要针对噪声和图像选取合适的阈值函数和最佳阈值，才能最大程度去除图像噪声。

本文提出了新的阈值函数，这一函数既满足函数的连续性，又解决了阈值函数恒定偏差问题。

1、小波阈值去噪原理

小波阈值去噪方法中噪声通常处于高频，利用这一特点，通过对高频部分进行相应阈值化处理，然后进行重构，这样就达到了去除噪声的目的。

假设一幅图像被高斯噪声污染的表示形式如下：

为含噪声图像;nj，k为高斯白噪声，服从正态分布N（0，δ^2）正态分布。

小波阈值方法通过以下3步骤进行实现：

1）对fj，k作小波变换，得到小波系数wj，k;

2）通过对wj，k进行阈值化处理，得出小波估计系数w^j，k;

3）利用w^j，k进行小波系数重新构造得到去噪后的图像f^j，k。

常用的阈值求法有：斯坦无偏似然估计准则、固定阈值准则、启发式阈值准则和极大极小原理准则。本文采用固定阈值准则固定阈值定义如下：

其中：M×N为图像的大小。

2、小波阈值函数

2．1、常见的小波阈值函数

小波阈值去噪法的另一种称呼是阈值函数，也就是利用阈值函数来获得阈值，阈值函数应用最多的就是Donoho等提出的阈值的方法，而且Donoho等也证明了利用小波阈值去噪比其他经典的去噪方法优越。随后人们在此基础上提出了改进的阈值函数，如硬软折中阈值函数等。硬、软阈值函数分别如式（3）（4）。

硬阈值函数定义为：

2．2、改进的小波阈值函数

硬、软阈值方法在去噪方面取得了较好的效果，但它们存在缺点。式（3）虽然解决了|w^j，k－wj，k|的误差问题，但存在间断点±λ，在图像重建时会产生一些附加震荡，而且比较容易出现Pseudo-Gibbs现象等视觉失真。同样，式（4）在±λ处连续性好，但|w^j，k－wj，k|存在恒定的误差，这样会使图像的高频信息产生丢失等失真的现象，且式（4）存在高阶求导的困难，不利于进一步用数学工具对它处理。硬软折中阈值函数对式（3）（4）进行了改进，但依然存在恒定偏差问题。

为了更好地解决以上方法所带来的问题，文献分别提出了如下的改进的阈值函数：

式（5）很好地解决了含噪图像的小波系数与估计小波系数恒等的误差问题，但它没有调节因子，显然不够灵活，而且连续性差;式（6）虽然解决了连续性问题，但含噪图像的小波系数与估计小波系数的恒定偏差还是没有得到很好的解决。为了能够有效解决上述问题，本文提出了新的函数：

图1的横坐标为对fj，k经过小波变换得到的原始的小波系数;纵坐标为对小波系数进行阈值处理后的得到的估计的小波系数。λ为门限值;根据式（7）的函数进行绘图。图1中，λ=5，原始小波系数取值范围为－20～20。

图1   α=1，n=3时改进阈值函数