一维信号小波阈值去噪

1、小波阈值处理基本理论

所谓阈值去噪简而言之就是对信号进行分解，然后对分解后的系数进行阈值处理，最后重构得到去噪信号。该算法其主要理论依据是：小波变换具有很强的去数据相关性，它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中;而噪声的能量却分布于整个小波域内。因此，经小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的系数幅值。可以认为，幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声。于是，采用阈值的办法可以把信号系数保留，而使大部分噪声系数减小至零。小波阈值收缩法去噪的具体处理过程为：将含噪信号在各尺度上进行小波分解，设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为0，高于该阈值的小波系数或者完全保留，或者做相应的“收缩（shrinkage）”处理。最后将处理后获得的小波系数用逆小波变换进行重构，得到去噪后的信号。

2、阈值函数的选取

小波分解阈值去噪中，阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数不同处理策略，是阈值去噪中关键的一步。设w表示小波系数，T为给定阈值，sign（*）为符号函数，常见的阈值函数有：

硬阈值函数：（小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的保留不变）

软阈值函数：（小波系数的绝对值低于阈值的置零，高于的系数shrinkage处理）

式（3-8）和式（3-9）用图像表示即为：

值得注意的是：

1）硬阈值函数在阈值点是不连续的，在下图中已经用黑线标出。不连续会带来振铃，伪吉布斯效应等。

2）软阈值函数，原系数和分解得到的小波系数总存在着恒定的偏差，这将影响重构的精度

同时这两种函数不能表达出分解后系数的能量分布，半阈值函数是一种简单而经典的改进方案。见下图：

3、阈值的确定

选取的阈值最好刚好大于噪声的最大水平，可以证明的是噪声的最大限度以非常高的概率低于（此阈值是Donoho提出的），其中根号右边的这个参数（叫做sigma）就是估计出来的噪声标准偏差（根据第一级分解出的小波细节系数，即整个det1绝对值系数中间位置的值），本文将用此阈值去处理各尺度上的细节系数，注意所谓全局阈值就是近似系数不做任何阈值处理外，其他均阈值处理。

4、阈值策略

5、一维信号的多级分解与重构

以下算法如果用简单的文字描述，可是：先将信号对称拓延（matlab的默认方式），然后再分别与低通分解滤波器和高通分解滤波器卷积，最后下采样，最后可以看出最终卷积采样的长度为floor（n-1）/2+n，如果想继续分解下去则继续对低频系数CA采取同样的方式进行分解。