相控阵天线方向图

相控阵天线方向图——第一部分：线阵波束特性和阵列因子

随着数字相控阵在商业、航空航天和国防领域的广泛应用，许多从事相控阵天线设计各个方面的工程师对相控阵天线的了解却十分有限。相控阵天线设计并非新生事物，其理论已发展数十年；然而，大多数文献都面向精通电磁数学的天线工程师。随着相控阵开始融入更多混合信号和数字技术，许多工程师将受益于对相控阵天线方向图更直观的解释。事实上，相控阵天线的行为与混合信号和数字工程师日常使用的离散时间采样系统之间存在诸多相似之处。

这些文章的目的不是为了培养天线设计工程师，而是为了帮助从事相控阵子系统或组件设计的工程师，让他们能够直观地了解自己的工作可能会对相控阵天线方向图产生怎样的影响。

波束方向

首先，我们来看一个直观的相控阵波束控制示例。图 1 展示了一个简单的示意图，其中波前从两个不同方向照射到四个天线单元。在每个天线单元之后，接收路径中都施加了一个时间延迟，然后将所有四个信号叠加在一起。在图 1a 中，该时间延迟与波前照射到每个单元的时间差相匹配。在这种情况下，施加的延迟使得四个信号在组合点处相位一致。这种相干组合使得组合器的输出信号更强。在图 1b 中，施加了相同的延迟；然而，在这种情况下，波前垂直于天线单元。施加的延迟现在导致四个信号的相位错位，组合器的输出信号显著降低。

在相控阵中，时间延迟是实现波束控制所需的量化参数。但时间延迟也可以用相移来模拟，这在许多实际应用中都很常见且实用。我们将在波束斜视部分讨论时间延迟和相移的影响，但现在我们先来看一个相移实现方案，然后推导使用该相移进行波束控制的计算方法。

图 2 展示了这种使用移相器而非时延器的相控阵布置。请注意，我们将指向轴方向（θ = 0º）定义为垂直于天线表面的方向。指向轴方向右侧为正角 θ，左侧为负角 θ。

为了可视化波束控制所需的相移，可以在相邻元素之间绘制一组直角三角形，如图 3 所示。其中 ΔΦ 是这些相邻元素之间的相移。

图 3a 定义了这些元素之间的三角关系，每个元素之间相隔一个距离 (d)。波束指向偏离视轴方向 θ 的方向，该方向与地平线成 φ 角。在图 3b 中，我们可以看到 θ + φ = 90 ° 。这使得我们可以计算波传播距离 ΔL，即 L = dsin(θ)。波束转向所需的时间延迟等于波前传播该距离 L 所需的时间。如果我们把 L 看作波长的一部分，那么可以用相位延迟来代替该时间延迟。然后，ΔΦ 的方程可以相对于 θ 定义，如图 3c 所示，并在公式 1 中重复。

如果元件之间的间距恰好是信号波长的一半，那么可以进一步简化为：

让我们用这些方程式举个例子。考虑两个相距 15 毫米的天线单元。如果一个 10.6 GHz 的波前以 30º 的角度偏离机械轴线入射，那么这两个单元之间的最佳相位差是多少？

·θ = 30º = 0.52 弧度

·λ = c/f = (3 × 10⁸ m /s)/10.6 GHz = 0.0283 m

·ΔΦ = (2π × d × sinθ)/λ = 2π × 0.015 × sin(0.52)/0.0283 m = 1.67 rad = 95°

因此，如果我们的波前到达角度为θ = 30º，那么如果我们将相邻单元的相位偏移95º，就会使两个单元的信号相干叠加。这将使该方向上的天线增益最大化。

为了更好地理解相移如何随波束方向 (θ) 变化，图 4 绘制了这些方程在不同条件下的曲线。从这些图中可以得出一些有趣的观察结果。当 d = λ/2 时，在波束指向附近存在一个近似 3:1 的斜率，这正是方程 2 中的 π 乘数。这种情况还表明，单元间 180° 的完整偏移理论上会导致波束方向 90° 的偏移。实际上，对于实际的单元方向图，这无法实现，但这些方程确实展现了理论上的理想情况。需要注意的是，当 d > λ/2 时，任何相移都无法实现完整的波束偏移。稍后我们将看到，这种情况会导致天线方向图中出现栅瓣，而该图初步表明 d > λ/2 的情况有所不同。

均匀间隔线性阵列

上述方程仅适用于两个单元的情况。然而，实际的相控阵列可能包含数千个分布在二维空间中的单元。但就本文而言，我们只考虑一维情况：即线性阵列。

线性阵列是指宽度为1、横向包含N个单元的阵列。单元间距可以变化，但通常是均匀的。因此，本文中，我们将每个单元之间的间距设置为均匀距离d（图5）。尽管这种均匀间距的线性阵列模型较为简化，但它为理解天线方向图在各种条件下的形成提供了基础。我们还可以进一步应用线性阵列的原理来理解二维阵列。

近场与远场

那么，我们如何将之前为 N = 2 线性阵列建立的方程应用于 N = 10,000 线性阵列呢？目前看来，每个天线单元指向球面波前的角度都略有不同，如图 6 所示。

当射频源靠近天线时，每个单元的入射角都会有所不同。这种情况称为近场。我们可以计算出所有这些角度，有时我们需要这样做来进行天线测试和校准，因为我们的测试装置规模有限。但是，如果我们假设射频源远离天线，那么就会得到图 7 所示的情况。

由于射频源距离较远，球面波前的半径较大，导致波的传播路径近似平行。因此，所有波束角均相等，且每个相邻单元的路径长度比其相邻单元长 L = d × sinθ。这简化了计算，意味着我们推导出的两个单元方程可以应用于数千个单元，前提是它们之间的间距均匀。

但我们何时才能做出远场假设？远场究竟有多远？这有点主观，但一般来说，远场是指大于以下范围的任何距离：

其中 D 为天线直径（对于我们的均匀线性阵列，D 为 (N-1) × d）。

对于小型阵列（小D值）或低频（大λ值），远场距离较短。但对于大型阵列（或高频），远场距离可能达到数公里！这使得阵列的测试和校准变得十分困难。在这种情况下，可以使用更精细的近场模型，然后将其与阵列在实际应用中的远场情况进行关联。

天线增益、方向性和孔径

在深入探讨之前，有必要先定义一下天线增益、方向性和孔径。首先，我们来澄清一下增益和方向性的区别，因为两者经常被混淆。天线增益和方向性是相对于各向同性天线而言的——各向同性天线是一种理想天线，它向各个方向均匀辐射。方向性是指在特定方向上测得的最大功率P max 与所有方向辐射的平均功率P av 之间的比较。如果没有指定方向，则方向性由公式 4 计算得出。

方向性是比较天线性能时的一个重要指标，因为它定义了天线集中辐射能量的能力。增益与方向性具有相同的特性，但增益包含了天线的损耗。

P rad是辐射的总功率，P in是输入到天线的功率，k表示天线辐射过程中的损耗。

接下来，我们考虑天线方向图作为三维方向的函数，以及方向性作为波束宽度的函数。

球体的总表面积为 4π² ，球体面积的单位是球面度，一个球体包含 4π 个球面度。因此，各向同性辐射器的功率密度为

单位为（W/m 2）。

球面上的一个区域有两个角度方向。在雷达系统中，这些方向通常被称为方位角和仰角。波束宽度可以表示为每个角度方向的函数，分别记为θ1和θ2 ：它们的组合在球面上形成一个面积为ΩA的区域。

Ω A是以球面度为单位的波束宽度，可以近似为 Ω A ≈ θ 1 × θ 2。

将 Ω A视为球面上的一个面积，则方向性可以表示为

我们要讨论的第三个天线术语是孔径。天线孔径表示接收电磁波的有效面积，并且包含一个与波长相关的函数。各向同性天线的孔径为

增益是相对于各向同性辐射的，它决定了天线的有效孔径。

将这三个术语放在一起，我们可以看出增益可以被视为角度的函数，它定义了辐射方向图，并解释了天线的效率（或损耗）。

线性阵列的阵列因子

至此，我们能够预测各单元间实现最大天线方向性的最佳时间（或相位）差。但我们更希望了解并操控完整的天线增益方向图。这主要包含两个方面。首先是阵列中每个单元（或许是一个贴片）的增益，称为单元因子（GE ）。其次，我们可以通过波束成形对阵列施加影响，称为阵列因子（GA ）。完整的阵列天线增益方向图是这两个因子的组合，如公式10所示。

单元因子GE是阵列中单个单元的辐射方向图。它由天线的几何形状和结构决定，在实际操作中无法改变。了解单元因子非常重要，因为它会限制整个阵列的增益，尤其是在地平线附近。但由于我们无法对其进行电气控制，因此将其作为固定影响因素纳入相控阵总增益方程。在本文中，我们假设所有单元的单元因子都相同。

因此，本文的重点在于阵列因子 G A。阵列因子基于阵列几何形状（对于我们的均匀线性阵列，即 d）和波束权重（幅度和相位）计算得出。推导均匀线性阵列的阵列因子很简单，但具体细节最好参考本文末尾列出的参考文献。

文献中使用的方程存在一些差异，这取决于线性阵列中参数的定义方式。我们采用本文中的方程，这与图 2 和图 3 中的定义保持一致。由于我们主要关注增益的变化，因此绘制归一化阵列因子相对于单位增益的曲线通常更有意义。该归一化阵列因子可表示为方程 11。

我们已经将波束角 θ 0定义为元件间相移 ΔΦ 的函数；因此，我们也可以将归一化天线因子写成公式 12。

阵列因子方程中假设的条件包括：

·各元素间距相等。

·各元素之间存在相等的相位差。

·各个元素的振幅都相等。

接下来，利用这些方程，我们绘制出几种不同数组大小的数组因子。

根据这些数据可以得出一些结论：

·第一旁瓣增益始终为 -13 dBc，与阵列单元数量无关。这是由于阵列因子方程中使用了 sinc 函数所致。可以通过对各单元增益进行渐变来改善旁瓣，这将在本系列的后续章节中讨论。

·波束宽度随单元数量的增加而减小。

·当波束偏离轴线扫描时，波束宽度会变宽。

·随着元素数量的增加，空值的数量也会增加。

波束宽度

波束宽度是衡量天线角度分辨率的指标。最常见的波束宽度定义是半功率波束宽度 (HPBW) 或主瓣零点间距 (FNBW)。为了找到 HPBW，我们从峰值向下移动 3 dB 并测量角度距离，如图 12 所示。

利用归一化阵列因子方程，我们可以通过将公式 3 设置为半功率电平（3 dB 或 1/√2）来求解该半功率波束宽度 (HPBW)。我们将假设机械视轴（θ = 0º），N = 8，且 d = λ/2。

然后解得 ∆Φ 为 0.35 rad。使用公式 1，解得 θ：

该θ值是峰值到3 dB点的距离，也就是我们半功率波束宽度（HPBW）的一半。因此，我们只需将其乘以2即可得到3 dB点之间的角度距离。由此得出HPBW为12.8º。

我们可以重复此操作，使阵列因子等于 0，并得到前面提到的条件下的第一个零位到零位间距角 FNBW = 28.5º。

对于均匀线性阵列，HPBW [1,2] 的近似值由公式 15 给出。

图 13 绘制了在 λ/2 单元间距条件下，不同单元数的波束宽度与波束角度的关系图。

从这张图中，我们可以观察到一些与行业内正在开发的阵列尺寸相关的现象。

·1°的波束精度需要100个阵元。如果方位角和俯仰角都需要达到1°的精度，则需要一个包含10000个阵元的阵列。1°的精度仅在近乎理想的条件下才能在波束指向方向上实现。要在实际部署的阵列中，在各种扫描角度下保持1°的精度，则需要进一步增加阵元数量。这一观察结果为超大型阵列的波束宽度设定了一个实际的极限。

·行业内常用的阵列是1000单元阵列。每个方向32个单元，单元总数为1024个，在瞄准线附近可实现小于4°的波束精度。

·一个可低成本批量生产的256单元阵列，其波束指向精度仍可小于10°。这对于许多应用来说完全可以接受。

·另请注意，对于上述所有情况，波束宽度在偏移 60° 时都会加倍。这是由于分母中的 cosθ 造成的，是由于阵列的透视缩短效应；也就是说，从某个角度观察时，阵列的横截面看起来更小。

元素和数组因子的结合

上一节仅考虑了阵列因子。但要计算天线总增益，我们还需要单元因子。图 14 给出了一个示例。在本例中，我们使用简单的余弦函数作为单元因子，或归一化单元增益 G E (θ)。余弦滚降在相控阵分析中很常见，如果考虑平面，则可以直观地理解。在垂直于天线方向时，可见面积最大。随着角度偏离垂直于天线方向，可见面积按余弦函数递减。

阵列因子 G A (θ) 用于 16 单元线性阵列，单元间距为 λ/2，且具有均匀辐射方向图。总方向图是单元因子和阵列因子的线性乘积，因此在 dB尺度上，它们可以相加。

波束偏离瞄准线时的一些观察结果：

·主波束振幅以元件因子的速率衰减。

·波束指向方向上的旁瓣没有幅度损失。

·结果是，偏离视线方向时，整个阵列的旁瓣性能下降。

天线图：笛卡尔坐标系与极坐标系

到目前为止，我们使用的天线方向图都是采用笛卡尔坐标系绘制的。但通常情况下，天线方向图会采用极坐标系绘制，因为极坐标系更能代表天线向外辐射的空间能量分布。图 15 是图 12 的极坐标重绘版本。请注意，数据完全相同，逐点一致——只是使用了极坐标系重新绘制。能够以两种坐标系可视化天线方向图是有价值的，因为文献中都使用了这两种坐标系。本文大部分内容将使用笛卡尔坐标系，因为在这种坐标系下更容易比较波束宽度和旁瓣性能。

阵列互易性

到目前为止，所有的图表和文字都描述了阵列接收的信号。但对于发射阵列来说，情况又会如何变化呢？幸运的是，大多数天线阵列都是互易的。因此，发射和接收的所有图表、公式和术语都是相同的。有时，将波束视为阵列接收信号更容易理解。而有时，例如在栅瓣的情况下，将阵列视为发射波束可能更直观。在本文中，我们通常将阵列描述为接收信号。但如果您觉得难以想象，也可以同样地从发射的角度来思考相同的概念。

本系列文章第一部分到此结束。