FPGA的伪随机序列发生器设计

FPGA的伪随机序列发生器设计

0  引言

伪随机序列现已广泛应用于密码学、扩频通讯、导航、集成电路的可测性设计、现代战争中的电子对抗技术等许多重要领域。伪随机序列的伪随机性表现在预先的可确定性、可重复产生与处理。伪随机序列虽然不是真正的随机序列，但是当伪随机序列周期足够长时，它便具有随机序列的良好统计特性。在已有的序列中，m序列的应用最为成熟和广泛，为此，本文给出线性m序列和基于m序列的非线性m子序列的FPGA实现方法。由于FPGA的内部逻辑功能是通过向内部静态存储器单元加载配置数据来实现的，其配置文件决定了逻辑单元的逻辑功能以及模块间或与I／O间的连接，故可最终决定FPGA实现的功能。FPGA的这种结构允许多次编程，并享有快速有效地对新设计进行优化的灵活性，为此，本文选用了altera的cvclone系列FPGA芯片EPlC12-240PQFP，该芯片内部有12060个逻辑单元、239616 bit RAM、两个锁相环(PLL)。本文应用移位寄存器理论来产生序列，其算法的关键是找到线性m序列和非线性m子序列移位寄存器的反馈逻辑式。

1 m序列的实现

1.1 基于FPGA的m序列实现

利用反馈移位寄存器产生0、1序列时，其n位反馈移位寄存器的逻辑功能如图1所示。



图中，x_i蕾表示寄存器所处的状态，通常用0和1来代表两个可能的状态，并且把0和1看成是有限域GF(2)的两个元素。f(x₀，x₁，…，x_n-1)刻划了移位寄存器反馈逻辑的功能，它可以看成一个定义在GF(2)上并且在GF(2)中取值的n元函数，当f(x₀，x₁…，x_n-1)可以表示成一线性齐次函数时。即，相应的反馈移位寄存器是线性的，而由线性移位寄存器产生的序列就称为线性移位寄存器序列。m序列就是线性移位寄存器序列。

对于一个n级m序列移位寄存器来说。它在每一时刻的内部状态都可以看做有限域GF(2)上的一个n维向量，而反馈函数就是刻划了从每一时刻的状态到下一时刻状态的转移规律，或者说反馈函数定义了n维向量空间上的一个线性变换。

通常可以用V_n(F)代表域GF(2)上全体n元数组构成的n维向量空间，a=(a₀a₁a₂…a_n-1…)代表n级移位寄存器产生的m序列。n级m序列移位寄存器的状态可以看做V_n(F)中的向量。设f(λ)=λⁿ+c_n-1λ^n-1+…+c₀是多项式环F[λ]中的一次n多项式，那么，对于G(f)中的线性移位寄存器序列，从状态(a_ka_k+1a_k+n-1)到下一个状态(a_k+1a_k+2…a_k+n)的转移就可以看成是Vn(F)的一个线性变换。由于a_k+n=a_n-1a_k+n-1+c_n-2a_k+n-2+…+c₀a_k，于是，状态转移变换用矩阵写出来就是：



称为线性移位寄存器的状态转移矩阵，显然，状态转移矩阵T和初始状态完全刻画了线性移位寄存器所产生的序列。它在此建立起了反馈函数，即，和状态转移矩阵T之间的对应关系。

设F(λ)=λⁿ+c_n-1λ^n-1+…+c₀是线性递推序列的极小多项式，那么，一个周期序列的周期就等于它的极小多项式的周期，因此，一个n级m序列的极小多项式f(λ)的周期就是2ⁿ-1。在代数中，这样的多项式称为n次本原多项式。由于矩阵T是有理块，它的特征多项式∣ΛI-T∣=f(λ)就是它的极小多项式。找到了m序列本原多项式与状态转移矩阵T之间的关系，就可进一步获得m序列本原多项式与反馈函数，即=之间的关系，这样就可以直接从m序列本原多项式出发，在FPGA中实现m序列移位寄存器结构并产生m序列。




图2所示是该序列在QuartusⅡ开发平台中的仿真波形。



仿真时，1个CLK周期设置10ns，外加复位信号RD所占用的时间，周期为29-1的m序列仿真时间需要5.16 μs。所产生的序列如下：



其中，斜体0、1代码表示序列又一周期的开始，周而复始。

1.2 序列伪随机性分析


根据SEL[0．．2]端子可选择不同周期的序列，m序列发生器中R序列周期可选2⁶-1，2⁹-1，2¹⁵-1，2²⁸-1，2³⁶-1；m子序列发生器中的序列周期可选2⁵-1，2⁶-1，2⁷-1，2⁸-1，2⁹-1。若N_L_SEL端子取1，则选择非线性伪随机序列发生器，SEL[0．．2]端子取101，则选择周期是2⁹-1的m子序列。图4所示是序列发生器模块的仿真波形图。

比较周期是2⁹-1的某一m子序列与同一周期的m序列可知，其两者具有相同的周期、平衡性、相近的自相关性以及不同的局部游程和不同的线性复杂度。QUARTUS中的仿真报告表明，L_prsg模块将耗费96个Logic Elements，NL_prsg模块则耗费35个Logic Elements。

3  结束语

伪随机序列在通信、密码学、雷达、导航、芯片内建自测试方面具有广泛的应用，本文给出了线性m序列和基于m序列的m子序列的FPGA实现方法。本方法应用移位寄存器理论，从m序列的本原多项式出发，其算法核心是找到m序列本原多项式与线性m序列和m子序列移位寄存器反馈逻辑式之间的关系，然后采用VHDL语言编程，并借助Quart usⅡ开发平台实现序列。

文中通过对伪随机性分析表明：其所产生的序列符合m序列的统计特性，m子序列也具有优良的伪随机特性，从而验证了该算法的正确性。