半导体中的载流子统计规律

半导体具有价带全满、导带全空的能带结构,但这只是在绝对温度为零度时才严格成立。在室温下，仍有少量的电子从价带热激发至导带,并在价带留下相应的空穴，或电子从施主杂质电离进人导带,或空穴从受主杂质电离进人价带。尽管这种热激发过程或电离过程具有一定的随机性，而且要研究的对象载流子的数量巨大，但它们也有规律可循，它们应遵循统计规律。本节将讨论本征半导体、杂质半导体包括简并半导体的载流子统计规律。

2.5.1 载流子的玻尔兹曼统计分布规律

统计物理学认为电子处于能量E的几率为

这里E为费米能级,它标志了一个系统中电子填充水平的高低，类似于一个盛水容器中的水平面。f(E)又称为费米分布函数,具有如下性质:

这种分布函数又称玻尔兹曼分布函数。

就像计算盛水容器中的水量除了需要知道水平面外，还要知道这个容器各层横截面的布函数。面积那样,要计算半导体中载流子浓度,除了需要知道费米能级外,还要知道导带或价带的态密度。对于具有抛物线型色散关系的能带结构,其导带和价带的态密度分别为：

通过对导带和价带中不同能量位置载流子浓度的积分,可以得到导带电子浓度和价带空穴浓度与费米能级存在如下关系:

这里Nc和Nv分别为导带和价带的有效状态密度,分别由下式决定:

上式中,m。和m品分别为导带和价带的态密度有效质量,它们是包含了可能出现的多能谷以及能谷各向异性信息或轻重空穴有效质量信息的一个折合质量。(2.7)式的物理意义是，对导带电子(或价带空穴)的统计可以将所有导带电子假想为集中到导带底(或价带顶)，同时其态密度为Ne(或N)。费米能级越接近于导带，电子浓度越高，空穴浓度越低;反之亦然。一旦费米能级的位置确定，电子浓度和空穴浓度也随之确定(假定温度是确定的);反过来，一旦电子或空穴浓度确定，则费米能级的位置也确定。将(2.7a)和(2.7b)两式相乘,还可得到

(2.9)式表示电子浓度和空穴浓度的乘积只与材料本身的性质(即禁带宽度、有效质量)和温度有关，而与费米能级位置和掺杂浓度无关。

2.5.2 本征载流子浓度及其随温度变化

利用(2.9)式,可以直接计算本征半导体的载流子浓度。根据电中性条件，在本征半导体中热激发产生的导带电子和价带空穴的浓度相等，这一浓度称为本征载流子浓度n1。其大小可通过电中性条件n=p，再利用(2.9)式确定如下:

同时，利用(2.7)式还可以得到本征半导体的费米能级(称为本征费米能级)，

半导体本征载流子浓度与温度和禁带宽度有关，在一定温度下，应有一个确定值。图2.15为硅、锗、砷化镓3种半导体本征载流子浓度与温度倒数的关系[e。随着温度升高，本征载流子浓度呈指数式增大,其对数与1/T的斜率为一Eg/2k。E。越大的材料,本征载流子浓度越低。对于硅材料,室温(300 K)下本征载流子浓度为9.6510cm~3。另外,由于室温热运动能量kT约为26 meV,比大多数半导体禁带宽度小得多,因此，(2.11)式右边第一项相对于第一项可以忽略,即:可以认为本征费米能级位于半导体禁带中央。这是合理的,因为本征半导体既非n型,又非p型,所以,费米能级既不向导带也不向价带偏移。

利用(2.10)式和(2.11)式,又可将(2.7)式和(2.9)式分别改写为

2.5.3 杂质半导体载流子浓度及其随温度变化

对于杂质半导体，以掺有施主杂质的n型半导体为例,导带电子除了由本征热激发产生外.还需要考虑由施主电离产生的电子。这时就需要考虑电子占据杂质能级的几率,它类似于费米分布，

从(2.16)式可知,对于确定温度,E应有定值,电子浓度和空穴浓度也可确定。图2.16为典型的电子浓度对数与温度倒数的关系1在低温下,电子浓度随温度上升呈指数式上升其斜率与施主电离能(ED=Ec一ED)成正比,此过程又称为杂质弱电离区。在中等温度范围,电子浓度存在一个饱和区,它对应于施主杂质的完全电离,故又称为强电离区,此时"=Nn，大多数情况下室温就落在此区间。温度进一步升高，载流子本征热激发可超过施主杂质浓度,进入本征激发区,电子浓度主要由本征载流子浓度决定,它随温度呈指数式增加,其斜率正比于Eg。

对于p型半导体,只要将电中性条件改为p=NA+n，也可以得到类似于n型半导体的结果。对于同时掺有施主和受主杂质的半导体,则只要将电中性条件改为n十N=N十p，也可计算出Ee，从而进一步计算出电子和空穴的浓度。它也具有与单一杂质情形类似的3个温区，在饱和区或强电离区多数载流子的浓度等于掺杂浓度之差(ND一NA或V、一N)，这就是杂质补偿现象。在通常情况下,室温位于饱和区。

2.5.4 简并半导体载流子的费米统计分布规律

这里需要指出,上面的(2.7)式、(2.9)式、(2.12)式、(2.13)式，是在费米能级距导带边和价带边不过近的情况下(Ec一EF>2kT和EE一Ev>2kT)得到的。或者说，当费米分布函数可以用玻尔兹曼分布函数近似时,才有这些结论。这种条件下的半导体称为非简并半导体，此时半导体中载流子浓度较低，每个状态被电子占据的几率很低，不必考虑泡利不相容原理的限制。随着掺杂浓度的增大，以n型半导体为例，费米能级越来越接近导带边，甚至进入导带,这时半导体称为简并半导体，因为此时半导体中载流子浓度很高，相当数量的状态可能被一个以上电子占据,所以，必须考虑泡利不相容原理，费米分布函数不能用玻尔兹曼分布函数来近似,即:玻尔兹曼统计不能用来计算导带电子，必须用费米统计。显然，此时对于空穴浓度仍适用玻尔兹曼统计。(2.7a)式可改为

图2.17为费米积分与玻尔兹曼积分的比较。可以看出，当<一2时,玻尔兹曼积分与费米积分基本相同,在大于2尤其在>0(对应于费米能级进人导带)时，玻尔兹曼积分明显偏离费米积分。由于玻尔兹曼统计不考虑泡利不相容原理,而费米统计考虑了泡利不相容原理，对于同样位置的费米能级,玻尔兹曼统计得到的载流子浓度偏高是可以预期的。当重掺杂使半导体成为简并半导体后，特别是当费米能级进入导带时,根据电子占据施主杂质能级几率的表达式可知,施主杂质电离率较低，不同于低掺杂和中等程度掺杂时杂质基本能完全电离。上述讨论对重掺杂p型半导体也适用，相应空穴浓度为