关于二进制表示和补码计算

一、前言

计算机最喜欢的数字就是 0 和 1，在 CPU 的世界中，它只认识这两个数字，即使是强大的操作系统，也都是由 0 和 1 组成的。

作为一名软件开发者，入门学习的内容可能就是认识这 2 个既简单、又强大的数字。但是大部分人，对于二进制、二进制计算、原码、反码以及补码的认识，仍处于机械的强制记忆阶段。尤其是对一些编码和计算，仍然处于模糊的认识阶段，例如：

CPU 是如何表示负数的？

为什么补码可以用来表示负数？

一个 8 位的二进制数，最小值为什么是 -128，而不是 -127？

CPU 中的加法器，为什么可以连同符号位一起运算？

这篇文章我们就来聊聊这个最最基础的内容，帮助你来理解二进制计算的相关内容，看完这篇文章之后，不仅知其然，更能知其所以然！

PS: 这里有点高调了，最终的所以然部分，应该涉及到数学证明这一层次了，本文并不会涉及到求证过程。

二、从十进制到二进制

1. 十进制

作为数学计算能力强大的中国，10 以内的加减法，应该是在幼儿园阶段就完成了。如果你不属于这个范围，说明你上的是假幼儿园。

我们来快速复习一下关于十进制运算的一些基本知识:

每一个数位上包括的数字为 0 到 9；

每一个数位上的数，是它右侧数位的 10 倍；

两个数相加时，相同数位上的数相加之和如果大于等于 10，就向前进 1 位，即：满十进一；

具体来看就是：

从右数第一个位数(个位)上的数字代表多少个 1；

从右数第二个位数(十位)上的数字代表多少个 10；

从右数第三个位数(百位)上的数字代表多少个 100；

从右数第四个位数(千位)上的数字代表多少个 1000；

十进制的数，可以使用后缀字母 D 来表示，也可以省略。例如：十进制的 1234 这个数字，个位上的数是 4， 十位上的数是 3， 百位上的数是 2，千位上的数是 1（一般是从最右侧的个位说起），每一个数位上的数比它右侧大十倍。如下图：

十进制数据，也称作基于十的表示法。

2. 二进制

那么对于二进制呢？直接套用上面十进制的概念，然后把 10 换成 2 即可(目前先忽略符号位)：

每一个数位上包括的数字为 0 和 1；

每一个数位上的数，是它右侧数位的 2 倍；

两个数相加时，相同数位上的数相加之和如果大于等于 2，就向前进 1 位，即：满二进一；

具体来看就是：

从右数第一个位数上的数字代表多少个 1；

从右数第二个位数上的数字代表多少个 2；

从右数第三个位数上的数字代表多少个 4；

从右数第四个位数上的数字代表多少个 8；

记住几个重点：二进制数中只包含 0 和 1 两个数字，在相加时满二进一。

在十进制中，每一个数位我们给它进行了专门的命名(个位、十位、百位...)，但是二进制没有类似的命名。

二进制的数，使用后缀字母 B 来表示，例如：二进制的 1111B 这个数字，用图来表示权重如下：

换算成十进制数就是 15(1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 15)。

在二进制中，每一位称为一个比特(bit)，如果用 8 个 bit 来表示一个二进制数，最小值是 0000_00000，最大值是 1111_1111；

如果用 16 个 bit 来表示一个二进制数，最小值是 0000_0000_0000_0000，最大值是 1111_1111_1111_1111。(为了便于观察，每 4 个 bit 之间，加上了分隔符)

在早期的计算机中，8 位的处理器很常见，于是就给它一个专门的名字：字节(Byte)。16 位的二进制数就是 2 个字节，也称作：字(Word)。

3. 扩展到十六进制

原理还是相同的：直接把十进制中的 10 换成 16 即可：

每一个数位上包括的数字为 0 到 9，A 到 F；

每一个数位上的数，是它右侧数位的 16 倍；

两个数相加时，相同数位上的数相加之和如果大于等于 16，就向前进 1 位，即：满十六进一；

具体来看就是：

从右数第一个位数上的数字代表多少个 1；

从右数第二个位数上的数字代表多少个 16；

从右数第三个位数上的数字代表多少个 256；

从右数第四个位数上的数字代表多少个 4096；

在十六进制中，需要十六个数字来表示 0 到 15 这些数字，0 到 9 比较好处理，但是从 10 到 15，我们就需要找一些记号来表示，于是人们就想到用 A,B,C,D,E,F 这几个字母来分别表示 10 到 15 这个 6 个数字。

十六进制数据，使用后缀字母 H 来表示，有些场合也可以使用前缀 0x 来表示，本质上没有区别。例如：十六进制数字 1A2BH（或者写作 0x1A2B），每一个数位上的权重如图：

换算成十进制数就是 6699(1 * 4096 + 10 * 256 + 2 * 16 + 11 * 1 = 6699)。

4. 扩展到任意进制

原理仍然相同：直接把十进制中的 10 换成目标进制，例如 5 进制：

每一个数位上包括的数字为 0 到 4；

每一个数位上的数，是它右侧数位的 5 倍；

两个数相加时，相同数位上的数相加之和如果大于等于 5，就向前进 1 位，即：满五进一；

具体来看就是：

从右数第一个位数上的数字代表多少个 1；

从右数第二个位数上的数字代表多少个 5；

从右数第三个位数上的数字代表多少个 25；

从右数第四个位数上的数字代表多少个 125；

再看一个图加深印象：

三、从十进制加法到二进制加法

1. 十进制加法

这个就不必多说了，规则只有 2 条：

两个数，相同数位上的数字进行相加；

每一个数位上的相加结果，满十进一；

例如：

个位上：4 + 8，结果是 12，但是十进制中没有 12 这个数字，因此向左侧的高位进1，个位就剩下：12 - 10 = 2。

十位上：7 + 2，再加上进位 1，结果是 10，但是十进制中没有 10 这个数字，因此向左侧的高位进1，十位变成：10 - 10 = 0。

百位上：1 加上进位 1，结果是 2。

2. 二进制加法

第 0 位：0 + 0 结果为 0；

第 1 位：1 + 0 结果为 1；

第 2 位：1 + 1 结果为 2，但是二进制中没有 2 这个数字，因此需要向左侧的高位进 1，于是第 2 位上就剩下 2 - 2 = 0。

第 3 位：1 + 1 等于 2，再加上进位 1，结果就是 3，但是二进制中没有 3 这个数字，因此需要向左侧的高位进 1，于是第 3 位上就剩下 3 - 2 = 1。

第 4，5，6，7位计算均是如此。

3. 十六进制加法

第 0 位：E + C，结果为 26，但是十六进制中没有 26 这个数字，因此需要向左侧的高位进 1，于是第 0 位就剩下 26 - 16 = A。

第 1 位：A + 1 等于 B，再加上进位 1，结果就是 C，十六机制中有这个数字。

四、把负数计算转换成正数计算

1. 原码

原码(true form)是一种计算机中对数字的二进制定点表示方法。原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：正数该位为0，负数该位为1（0有两种表示：+0和-0），其余位表示数值的大小。

例如，用 8 个 bit (8 位二进制数)来表示一个数，+11 的原码为 0000_1011，-11 的原码就是 1000_1011。

2. 把负数计算变成正数计算

我们都知道，CPU 中有加法器，好像从来没有听说过“减法器”。例如计算 5 + 8，转换成二进制来计算：

再来计算一下减法：5 - 8，对于 CPU 来说，只会计算 5 + 8， 但是不会计算 5 - 8。

但是可以转换一下思路，把减法变成加法 5 + (-8)，这样不就可以计算了吗？于是计算机先驱者就发明了反码：

正数的反码：保持原码不变；

负数的反码：原码中符号位不变，其余全部取反(-8 的原码是 1000_1000，反码就是：1111_0111)；

于是 5 + (-8)的计算过程就是：

此时，就完美解决了减法问题，那么乘法(多加几次)、除法(多减几次)问题也就跟着解决了。至于如何从数学的角度来证明，那就要问那些数学家了！

3. 新问题：如何表示0？

我们现在可以小结一下反码的表示范围(记住：第一位是符号位)：

正数的表示范围：0000_0000 ~ 0111_1111，也就是十进制的 +0 ~ +127 这 128 个数；

负数的表示范围：1000_0000 ~ 1111_1111，也就是十进制的 -127 ~ -0 这 128 个数；

有没有发现问题：怎么存在 +0 和 -0 这两个数？而且他们的编码还不一样：+0 对应 0000_0000，-0 对应 1111_1111。

CPU 虽然就是一个傻瓜，让它干啥就干啥，但是 CPU 最不能容忍的就是不确定性！我们都知道 +0 == -0 == 0，它们是同一个数字，但是在二进制编码中，居然有两个编码来表示同一个数。

伟大的计算机先驱者又做了这样一个决定：正数保持不变，负数整体减 1。

也就是说：符号位不变，值整体加1，如下：

这样就成功解决了 -0、+0 的问题！

现在 一个 8 位的二进制就可以表示的范围是：-128 ~ 127，并且中间没有任何重复、遗漏的数字。

既然每一个二进制表示的值发生了变化，那么继续称之为反码就不准确了，此时给它们一个新的称呼：补码，也就是说：上图就变成了这样：

小结一下补码的定义：

正数的补码：保持原码不变；

负数的补码：原码中符号位不变，其余先全部取反，然后再加1(例如：-8 的原码是 1000_1000，补码就是 1111_1000)；

此时，我们仅仅是解决了二级制编码的表示问题，那么：补码能直接参与运算吗？运算结果会出现什么问题？

4. 补码的计算

我们先看一下这个问题：假设现在时间是 1 点整，但是你的手表进水了，它显示的是 3 点整，现在你怎么把时间调整到 1 点的位置？

方法1：把时针逆时针拨动 2 个小时(3 - 2 = 1)；

方法2：把时针顺时针拨动 9 个小时到 12 点，然后再拨动 1 个小时(3 + 10 = 1)；

对于时钟表盘来说，每 12 个小时为一圈，可以认为：-2 == 10，-1 = 11， -3 = 9，同样的：-2 == 10， -2 == 22， -2 == 34，...

可以看到规律是：-2、10、22、34 这些数字对 12 取模都得到同一个数(取正数)，在数学上，两个整数除以“同一个整数”，若得相同余数，则这两个整数同余。

表盘中的 12 就是这个“同一个整数”，可以看到这是一个可“溢出”的系统，-2、10、22、34 这几个数在表盘上表示的是一样的数，所以说这几个整数同余。

也就是说：在计算的时候，可以用 10、22、34 这几个数字来替换 -2，替换之后的计算结果是相同的。

那么对于一个 8 位 的二进制数来说，最多只有 8 位，在计算过程中，如果最高位产生了进位，就会被丢弃，所以它也是一个可“溢出”的系统。那么这里的“同一个整数”是多少呢？

从前面的内容中可以看到，使用补码表示的 8 位二进制数表示的范围是 -128 ~ 127，一共是 256 个数，所以如果对 256 取模，得到相同的余数，那么这些数就是同余数。

例如：-2 和 254 对 256 取模，得到相同的余数，因此它俩就是同余数，那么在计算的时候，就可以用 254 来代替 -2。

那么我们通过计算 3 + (-2) 来验证一下。

(1) 利用同余数来计算

3 + (-2) == 3 + 254 = 257

257 超过了最大的表示范围，所以溢出，结果就是 257 对 256 取模，结果为 1。

(2) 直接用补码来计算

3 的补码是 0000_0011，-2 的补码是 1111_1110，在计算的时候，把符号位也参与运算：

结果也是 1，也就是说：

在二进制计算中，使用补码来计算，“天然”就满足了“同余定理”。

细心的读者可能已经发现了：-2 的二进制补码表示，与 254 的二进制自然表示，它们的形式是一样的！

这种“天然”性，是巧合？还是计算机前辈的设计结果？！

五、总结

这篇文章，我们探讨了计算机系统的软件基石：二进制系统，主要的目的是帮助你理解二进制的表示、计算方式。

希望你看完之后能够豁然开朗！如果对您的理解有帮助的话，请转发给身边的技术小伙伴，共同成长！

谢谢！

审核编辑 ：李倩