开关电源线性化条件研究

上期我们知道了传递函数的重要性，而传递函数只有线性系统才有，开关电源并不是一个线性电路，所以我们需要将其线性化。当然，这个线性化肯定是有约束条件的，即在一定条件下才成立。

我如果说秒针是匀速旋转的，大家应该没什么异议吧，秒针每过1秒转动1小格，确实是匀速旋转，即秒针转的弧度与时间是线性关系。

但是如果我说秒针是每时每刻都是匀速旋转的，那就不对了吧。仔细观察的话，这种时钟，实际是时间每过1秒，迅速转动一小格，然后等待一秒，到了一秒后马上又转动一小格，所以它的速度并不是每时每刻都是一样的，期间甚至有静止不动的时候，即秒针转的弧度与时间并不是绝对的线性关系。

总之，严格来说，秒针转的弧度与时间并不是线性关系，但是如果满足一定的条件——时间够长，我们把它当成线性关系去看待反而会使问题更为简单，在计算一定时间秒针转了多少圈这种问题时，得到的结果也能接受，误差并不太大。

类似时钟的例子，在满足一定条件的时候，开关电源也可以看成是线性系统。

那问题来了，这个一定条件，到底是什么条件呢？

开关电源线性化的条件

要知道线性化的条件，那自然要知道开关电源哪里不是线性的。我们还是以最常见的电压反馈型的buck为例子吧。

下图是电压反馈型的BUCK的系统结构框图

整个系统结构主要有4个部分：

1、采样网络

2、放大和补偿器

3、脉冲调制器

4、开关变换器

采用网络

采样网络一般就是指FB上面的两个分压电阻，采样网络的输入是电源的输出Vo，采样网络的输出是FB的电压，很明显，它们是线性的。

比如下面buck芯片MP1484电路，这一级的传递函数都能很容易写出来，是线性的。

放大和补偿器

放大和补偿器要稍微复杂一点，我们可以打开MP1484的内部框图看看。

放大器工作在线性放大区，那就是线性的，补偿电路一般是阻容RC补偿，这一级没有非线性器件，所以这一级也是线性的。

脉冲调制器

脉冲调制器可能看着有点不好处理。

因为前面不论是采样网络，还是放大和补偿器，它们的输入和输出都是电压信号，且都是模拟量。而这个东西，将输入的模拟电压信号搞成PWM波了，我们总不至于说PWM波和前面的模拟量是线性关系吧（可以通俗理解线性关系就是比例关系）。

所以，如果看输入和输出的电压比例关系，脉冲调制器这一级就不是线性的。

这一点应该很明白，如果是线性的，输入是正弦波，那么输出一定正弦波，不会产生新的频率成分。

先看看这个PWM是如何产生的？

从放大和补偿器出来的信号，我们取个名字加Vc（t）吧，它是时间的函数。Vc（t）与芯片内部产生的锯齿波做比较，就能得到PWM波。

产生PWM的原理如下：

1、某一时刻Vc（t）大于锯齿波的电压，那么输出高

2、某一时刻Vc（t）小于锯齿波的电压，那么就输出低

波形图如下：

我们知道，开关电源就是通过控制每个开关周期内的导通与关断时间来达到控制输出电压的目的。也就是占空比d，对系统调整起决定作用的就是这个PWM的占空比d。

那么我们干脆把占空比d作为这一级的输出信号。

占空比就是每个开关周期内PWM波为高电平所占的时间百分比，显然，一个周期内占空比只有一个值，一个周期之内也只能调整一次占空比，调整的位置见上图中红色的点。

输入信号Vc（t）是连续的信号，而输出占空比d可以看成是离散的点。这是不是很像是AD采样？每一个开关周期对Vc（t）采样一次，也就是说采样频率就是开关频率。

显然，如果采样率够高，那么这些采样出来的点连起来的形状和Vc（t）是长的一样的，也就是说输出占空比d与输入Vc（t）成线性关系。

所以，线性化的条件就是采样率要够高，够高是多高呢？根据奈奎斯特采样定律，采样率至少是信号频率的2倍关系。

采样率是开关频率，信号是Vc（t），所以Vc（t）不能超过开关频率的二分之一。

回到主题，脉冲调制器这一级线性化的条件就是：输入信号Vc（t）不能超过开关频率的二分之一。

我想，这也是为什么我们会在很多地方看到类似这样的话：环路的穿越频率理论上要小于开关频率的二分之一（一般都设置小于1/5以上）。

原因应该就是：如果穿越频率大于开关频率的二分之一，那么这个系统就不能看成是线性系统，这时候穿越频率就没了意义（因为它来源于我们把这个系统当线性系统）。

开关变换器

开关变换前一级为脉冲调制器，其输出信号为占空比d，那么到了开关变换器这一级，占空比作为其输入信号了，而输出信号就是Vo了。

我们看中间节点SW处，SW处的波形也是占空比为d的PWM波，并且高电平的电压为电源输入电压Vi，在低电平的时候为0。

我们知道，BUCK稳定时的占空比就是：d=Vo/Vi（忽略二极管压降）

变换一下，也就是Vo=Vi*d。一个确定的电路，电源输入点电压Vi是确定的（不考虑噪声），那么Vo与d就是线性关系，即开关变换器这一级的输出与输入为线性关系。

另外，Vo肯定是有开关频率的纹波的，不过通常这个纹波是几十mv左右，这里是把这个纹波忽略掉的。因此，我们说它们是线性关系，其实是有个条件，那就是Vo的输出纹波很小，可以忽略，这一般称为小纹波假设。

不过，Vo与d的线性关系并不总是成立的。

如果是boost，那么其占空比的公式是这样的：d=1-Vi/Vo，那么Vo=Vi/（1-d），显然，vo与d并不是线性关系。这个时候怎么办呢？

当电源输入Vi确定时，我们画出Vo=vi/（1-d）的曲线如下图：

可以看到，d与Vo并不是线性关系，但是结合我们实际使用的情况，一般输入电压Vi和Vo确定之后，稳定时占空比d是不变的，假设为d0。

如果干扰信号引起的占空比△d变化很小，那么在这个小范围内，Vo与d是可以近似为线性的关系的。

所以，如果干扰信号比较小的话——小信号假设，这一级也是可以看成线性的。

小结

开关电源系统一般划分为4级：采样网络，放大和补偿，PWM调制器，开关变换器。

采样网络，放大和补偿这两级本身就是线性的，PWM调制器和开关变换器为非线性的。在满足下面三个条件时，开关电源可以看做线性系统。

1、低频假设：干扰信号的频率比较低，至少小于开关频率的二分之一（注：一些书在建模时的条件：远小于开关频率）。

2、小信号假设：干扰信号的幅度比较小，引起占空比d只在小范围变化。

3、小纹波假设：开关造成的输出纹波幅值很小，可以忽略不计。

审核编辑：郭婷