代码中是数学图像解法和贪心解法

今天讲一个贪心的老司机的故事，就是力扣第 134 题「加油站」：

题目应该不难理解，就是每到达一个站点i，可以加gas［i］升油，但离开站点i需要消耗cost［i］升油，问你从哪个站点出发，可以兜一圈回来。

要说暴力解法，肯定很容易想到，用一个 for 循环遍历所有站点，假设为起点，然后再套一层 for 循环，判断一下是否能够转一圈回到起点：

int n = gas.length;

for （int start = 0; start 《 n; start++） {

for （int step = 0; step 《 n; step++） {

int i = （start + step） % n;

tank += gas［i］;

tank -= cost［i］;

// 判断油箱中的油是否耗尽

}

}

很明显时间复杂度是 O（N^2），这么简单粗暴的解法一定不是最优的，我们试图分析一下是否有优化的余地。

暴力解法是否有重复计算的部分？是否可以抽象出「状态」，是否对同一个「状态」重复计算了多次？

我们前文 动态规划详解 说过，变化的量就是「状态」。那么观察这个暴力穷举的过程，变化的量有两个，分别是「起点」和「当前油箱的油量」，但这两个状态的组合肯定有不下 O（N^2） 种，显然没有任何优化的空间。

所以说这道题肯定不是通过简单的剪枝来优化暴力解法的效率，而是需要我们发现一些隐藏较深的规律，从而减少一些冗余的计算。

下面我们介绍两种方法巧解这道题，分别是数学图像解法和贪心解法。

图像解法

汽车进入站点i可以加gas［i］的油，离开站点会损耗cost［i］的油，那么可以把站点和与其相连的路看做一个整体，将gas［i］ - cost［i］作为经过站点i的油量变化值：

这样，题目描述的场景就被抽象成了一个环形数组，数组中的第i个元素就是gas［i］ - cost［i］。

有了这个环形数组，我们需要判断这个环形数组中是否能够找到一个起点start，使得从这个起点开始的累加和一直大于等于 0。

如何判断是否存在这样一个起点start？又如何计算这个起点start的值呢？

我们不妨就把 0 作为起点，计算累加和的代码非常简单：

int n = gas.length， sum = 0;

for （int i = 0; i 《 n; i++） {

// 计算累加和

sum += gas［i］ - cost［i］;

}

sum就相当于是油箱中油量的变化，上述代码中sum的变化过程可能是这样的：

显然，上图将 0 作为起点肯定是不行的，因为sum在变化的过程中小于 0 了，不符合我们「累加和一直大于等于 0」的要求。

那如果 0 不能作为起点，谁可以作为起点呢？

看图说话，图像的最低点最有可能可以作为起点：

如果把这个「最低点」作为起点，就是说将这个点作为坐标轴原点，就相当于把图像「最大限度」向上平移了。

再加上这个数组是环形数组，最低点左侧的图像可以接到图像的最右侧：

这样，整个图像都保持在 x 轴以上，所以这个最低点 4，就是题目要求我们找的起点。

不过，经过平移后图像一定全部在 x 轴以上吗？不一定，因为还有无解的情况：

如果sum（gas［。..］） 《 sum（cost［。..］），总油量小于总的消耗，那肯定是没办法环游所有站点的。

综上，我们就可以写出代码：

int canCompleteCircuit（int［］ gas， int［］ cost） {

int n = gas.length;

// 相当于图像中的坐标点和最低点

int sum = 0， minSum = Integer.MAX_VALUE;

int start = 0;

for （int i = 0; i 《 n; i++） {

sum += gas［i］ - cost［i］;

if （sum 《 minSum） {

// 经过第 i 个站点后，使 sum 到达新低

// 所以站点 i + 1 就是最低点（起点）

start = i + 1;

minSum = sum;

}

}

if （sum 《 0） {

// 总油量小于总的消耗，无解

return -1;

}

// 环形数组特性

return start == n ？ 0 ： start;

}

以上是观察函数图像得出的解法，时间复杂度为 O（N），比暴力解法的效率高很多。

下面我们介绍一种使用贪心思路写出的解法，和上面这个解法比较相似，不过分析过程不尽相同。

贪心解法

用贪心思路解决这道题的关键在于以下这个结论：

如果选择站点i作为起点「恰好」无法走到站点j，那么i和j中间的任意站点k都不可能作为起点。

比如说，如果从站点1出发，走到站点5时油箱中的油量「恰好」减到了负数，那么说明站点1「恰好」无法到达站点5；那么你从站点2，3，4任意一个站点出发都无法到达5，因为到达站点5时油箱的油量也必然被减到负数。

如何证明这个结论？

假设tank记录当前油箱中的油量，如果从站点i出发（tank = 0），走到j时恰好出现tank 《 0的情况，那说明走到i， j之间的任意站点k时都满足tank 》 0，对吧。

如果把k作为起点的话，相当于在站点k时tank = 0，那走到j时必然有tank 《 0，也就是说k肯定不能是起点。

拜托，从i出发走到k好歹tank 》 0，都无法达到j，现在你还让tank = 0了，那更不可能走到j了对吧。

综上，这个结论就被证明了。

回想一下我们开头说的暴力解法是怎么做的？

如果我发现从i出发无法走到j，那么显然i不可能是起点。

现在，我们发现了一个新规律，可以推导出什么？

如果我发现从i出发无法走到j，那么i以及i， j之间的所有站点都不可能作为起点。

看到冗余计算了吗？看到优化的点了吗？

这就是贪心思路的本质，如果找不到重复计算，那就通过问题中一些隐藏较深的规律，来减少冗余计算。

根据这个结论，就可以写出如下代码：

int canCompleteCircuit（int［］ gas， int［］ cost） {

int n = gas.length;

int sum = 0;

for （int i = 0; i 《 n; i++） {

sum += gas［i］ - cost［i］;

}

if （sum 《 0） {

// 总油量小于总的消耗，无解

return -1;

}

// 记录油箱中的油量

int tank = 0;

// 记录起点

int start = 0;

for （int i = 0; i 《 n; i++） {

tank += gas［i］ - cost［i］;

if （tank 《 0） {

// 无法从 start 走到 i

// 所以站点 i + 1 应该是起点

tank = 0;

start = i + 1;

}

}

return start == n ？ 0 ： start;

}

这个解法的时间复杂度也是 O（N），和之前图像法的解题思路有所不同，但代码非常类似。

其实，你可以把这个解法的思路结合图像来思考，可以发现它们本质上是一样的，只是理解方式不同而已。

对于这种贪心算法，没有特别套路化的思维框架，主要还是靠多做题多思考，将题目的场景进行抽象的联想，找出隐藏其中的规律，从而减少计算量，进行效率优化。

好了，这道题就讲到这里，希望对你拓宽思路有帮助。

责任编辑：haq