聊聊两粒子顶角函数的有趣之处

在上一个系列“超越局域近似-费曼图展开（1）”中，我们看到了高阶顶角函数对于自能修正的神奇之处。通过将不同格点上的局域两粒子顶角函数用非局域项连接起来，我们可以得到对于动力学平均场局域自能的非局域修正。这让我们对于顶角函数的作用有了新的认识和理解。顶角函数不再只是作为Bethe-Salpeter方程中的一部分，总是与各种极化率绑定在一起。高阶顶角函数与低阶顶角函数之间的关系，让我们多了一种构造量子多体理论的途径。今天，我们来进一步聊聊两粒子顶角函数的有趣之处。

我们首先来介绍一下两粒子格林函数。和单粒子格林函数类似，它代表的是多粒子体系对于增加和减少两个粒子的响应，可以依照单粒子格林函数的样子类似定义

这里我们用1,2,3,4表示一系列联合指标，可以包括动量、自旋等。如果作用量S是无相互作用的，我们可以对四费米算符应用Wick分解，分别得到两个单粒子传播子的乘积，

然而，如果S含有相互作用项时，就会多出一项，对应的是4费米子不可分的收缩项。

我们对单粒子格林函数很熟悉，知道它有两个外脚，其他部分对应自能的贡献。

相应的，我们可以理解，两粒子格林函数应该有四个外脚，同时还有类似于自能一样的东西，如下图所示。

这三项，分别对应了上述公式中两粒子格林函数的三个贡献。其中，阴影部分的图形是两粒子格林函数的“自能”部分，我们通常称之为完全顶角函数(full vertex function)。这里我们没有画成类似于单粒子格林函数Dyson方程那样的迭代方式，而是把它收缩成一个整体。这是因为两粒子层次上的“Dyson方程”形式上变得比较复杂了，还需要慢慢聊。 大部分人可能都是通过如下的两个途径了解到两粒子顶角函数：
1.单粒子格林函数求导；
2.Bethe-Salpeter方程。 其实两者是一回事。前面我们提到过，通常我们推导关联函数是在作用量中添加一个高斯形式的源项，然后对源项求导。这里我们要计算的是具有四费米子算符的两粒子格林函数，所以我们需要对单粒子格林函数求源项的导数，才能构造出四费米子算符的乘积。这里，我们要稍微注意一下源项是如何进入到格林函数中的。源项的算符具有高斯型，因此会在无相互作用格林函数里出现，通过Dyson方程，也会出现在自能中。所以，单粒子格林函数对源项的求导，包含了对单粒子无相互作用格林函数部分的求导，也包含了对自能的求导。前者会给出上述图形中前两项，而自能对于源项的求导给出的就是顶角函数及其连续递推公式Bethe-Salpeter方程。因为是教科书上的知识，这里我们不再做更详细的介绍了。取决于自能中对单粒子格林函数的出现方式不同，我们会得到三个不同的Bethe-Salpeter方程，如下图所示。这是我们通常所说的particle-hole horizontal channel、particle-hole vertical channel及particle-particle channel中的Bethe-Salpeter方程。这是我们这篇所讨论内容的出发点。

在多体计算中，我们通常利用Bethe-Salpeter方程计算有顶角修正的各种极化率，图形上对应着把上述完全顶角函数F的四个外脚两两连接起来，如下图左图所示。实际上，通过完全顶角函数我们也可以计算单粒子格林函数的自能，如下图右图所示。

(b)图初看起来没有那么熟悉，其实把完全顶角函数用其最低阶近似U替代，就可以发现是我们熟悉的二阶自能图中唯一的那个相连拓扑不等价图形。而F是包含了所有顶角相互作用的完整表示，如果我们可以严格计算得到F，那么通过（b）计算出的自能也将是严格的。通过F与自能的关系（b），原则上，我们可以构造出来一个完全自洽的理论，即通过计算两粒子完全顶角函数，从而计算单粒子自能，再反过来通过单粒子格林函数求源项导数而计算新的完全顶角函数。 这样的自洽过程把F与自能的关系（b）及Bethe-Salpeter方程连接在一起，形成了一个完整的同时具有单粒子和两粒子自洽性的闭合循环。这显然要比仅仅只有单粒子自洽性的量子多体方法要好。我们常见的格林函数微扰方法，例如Hartree-Fock、二阶微扰论、fluctuation-exchange approximation (FLEX， 涨落交换近似)、non-crossing approximation（非交叉近似）等等，都是仅有单粒子层次上的自洽性。它们在两粒子层次上不具有自洽性。 F与自能的关系（b）及Bethe-Salpeter方程都是严格的，如果我们可以严格的计算得到完全顶角函数，我们预想的同时具有两粒子和单粒子自洽性的多体理论，自然也是一个严格的理论。 但是现实是我们无法严格而完整的计算出完全顶角函数。它是一个依赖于三个独立动量和独立频率的函数，大部分情况下我们得不到它的闭合表达形式。利用数值计算，也存在实际困难。动量空间是具有周期边条件的，但是松原频率空间没有周期性的，原则上所有的频率都会贡献自能中的内部变量求和。目前已知的所有数值计算办法（包括量子蒙特卡洛和精确对角化）都无法得到F的全部信息。因此，我们常常不得不利用Bethe-Salpeter方程做些近似。简单的想法是对每个channel里不可约的顶角函数Γ近似处理，然后利用Bethe-Salpeter方程迭代计算出F。因为三个channel里的F是等价的，只需要计算一个最简单的particle-hole horizontal channel里的Bethe-Salpeter方程即可。 然而，为什么严格的推导会给我们三个不同channel的Bethe-Salpeter方程呢，这其中隐含了什么重要的信息吗？ 实际上这个三个Bethe-Salpeter方程并不是独立的。当我们试图去近似某一个Γ的时候，我们很可能就会破坏其他另外两个channel中的Bethe-Salpeter方程。这是因为完全顶角函数F具有一个非常重要的对称性-crossing symmetry。它连接了这三个Bethe-Salpeter方程，即通过crossing symmetry我们总是可以把其中的一个Bethe-Salpeter方程变成另外一个。当然，只有Γ是严格的，或者对其做了恰当的近似，才能保证这一点。很可惜，目前，我们常见的单粒子自洽理论，包括前述的Hartree-Fock、二阶微扰论、fluctuation-exchange approximation (FLEX， 涨落交换近似)、non-crossing approximation（非交叉近似）等等都不满足这一点。通过他们计算得到的两粒子顶角函数都破坏了crossing symmetry。 什么是crossing symmetry呢？它是两粒子顶角函数因为费米子的交换反对易性而具有的一个特性。如果我们任意交换两个费米子算符，就会得到一个额外的负号。

两粒子顶角函数具有和库仑排斥力一样的二次量子化形式，这里我们简单的把其系数写成算符指标的一个函数F(12;34)。在上式中我们分别交换了C2和C4两个湮灭算符，及C2和C3一对产生湮灭算符。通过重新改写哑元，我们得到如下的顶角函数之间的关系。

我们来形象的理解一下上面变换的意义。如果F(12;34)表示一对电子-空穴3-4散射成另外一对电子-空穴1-2，这是一个水平的散射过程，那么将C2和C4两个湮灭算符后，就变成了从3-2散射成1-4，是一个垂直的散射过程。交换两个算符的过程，可以形象的理解为将这两个算符的顶角对应的外脚相互交换，这两个外线必然要cross，所以我们把这个对称性称为crossing symmetry。对应于上述交换C2和C4两个湮灭算符，crossing-symmetry将particle-hole horizontal channel中的顶角函数变到了particle-hole vertical channel中。同样的道理，如果我们交换一个产生一个湮灭算符，比如C2和C3，我们也可以把particle-hole channel与particle-particle channel联系起来。总而言之，费米子的交换反对称性，使得三个channel中的Bethe-Salpeter方程并不独立，他们之间应当可以相互转换。 另外，因为完全顶角函数F是遵从crossing symmetry的，当我们考虑任何一个Bethe-Salpeter方程，左边的F在crossing操作下变成了自己（符号相应的改变），等式右边自然也应当变成自身。我们以particle-hole horizontal channel为例，等式右侧的第二项，在cross c_2和c_4后会从horizontal的连接方式变成了vertical的，而不是变成自身。因此，我们只能要求等式右边的第一项Γ中应当有一项，它能够在cross c_2和c_4后变成等式的第二项。换句话说，Γ中应该包含vertical channel中等式右边的第二项，它在cross 2和4后，会给出horizontal channel等式右边的第二项。同样的道理，Γ中也应当含有particle-particle channel中的连接方式，这样才能保证无论怎样交换两个外脚，都可以保证F能够变回自身，满足crossing symmetry。因此，我们熟悉的Bethe-Salpeter方程中的Γ应该表示成如下的样子：

这里将在每一个channel中不可约（不可约的意思是说，不能够通过剪断任意两条内部的格林函数线使其分成两个独立的部分）的Γ进一步分解，其中Λ被称为完全不可约顶角函数，它在三个channel中都是一样的，并且在任何一个channel中都是两粒子不可约的。作为对比，这里我们强调一下，Γ_ph仅在particle-hole horizontal channel里是不可约的，我们不能再进一步通过剪断两条单粒子格林函数线把它分解成horizontal方向上的两个独立部分了。但是Γ_ph在其他channel就变成可约的了。比如在particle-hole vertical channel里，我们要剪断垂直的两个格林函数线。按照上图，这显然是可以把Γ_ph等式右侧的第二张图分成两部分。所以我们说，Γ_ph在vertical channel里可约的。同样的道理，Γ_ph在paritlce-particle channel里也是可约的。 上图对于Γ的分解，构成了一组新的方程，我们称之为parquet方程。这样的分解完全保证了两粒子完全顶角函数F具有crossing symmetry。这时候，我们就可以安全的对Λ做近似，而不会破坏crossing symmetry了。这显然比在Bethe-Salpeter方程中对三个Γ做近似要更有优越性。对于如何求解完整的parquet 方程，可以参考笔者的程序和方法 [1, 2]。 我们可以把Λ用它的最低阶近似U来替代，叫做parquet approximation。2007年，K. Held组用动力学平均场方法严格计算了局域完全不可约顶角函数Λ， 并用动力学平均场lattice格林函数来替换parquet方程中的格林函数线。这样做，完全不可约顶角函数虽然是局域的，但是通过parquet方程及Bethe-Salpeter方程，我们可以计算得到非局域的完全顶角函数F，从而计算得到非局域的自能。因此，这也构成了一种动力学平均场的非局域扩展方法，称之为dynamical vertex approximation [3]. 这里我们不再进一步阐述这个方法了，剩下的大部分都是数值计算的细节了。通过和Dual Fermion及non-local expansion方法对比，我们可以看到，虽然这些方法的出发点不同，但是自能的非局域修正均来自于局域两粒子顶角函数的非局域连接。任何单粒子层次上的非局域性，都无法进入到自能中，都仅仅只是在由impurity格林函数变换成lattice格林函数的过程中起作用。自能，作为单粒子中的相互作用部分，其本质是来自于两体相互作用，因此任何非局域的修正来至于两粒子顶角函数也是情理之中。基于这样的思想，也可以通过局域两粒子顶角函数的不同连接方式，构造出全新的量子多体方法，对动力学平均场的局域自能进行非局域修正。这是一个崭新的领域，虽然略有门槛，但是有很多可以尝试和扩展的东西。目前的非局域扩展多集中在单轨道体系中，Hubbard相互作用，如何将非局域扩展方法更为核心的部分抽出来，简化计算，使得它更好的适用于真实材料体系的研究，将会是下一个研究中心。

结束的话

《动力学平均场-三十而已》这个系列，算上前言，一共9篇，到这里就告一段落了，感谢各位读者每期的陪伴。国内做动力学平均场方法论的同行不多，我最初的目的仅仅只是自说自话，简单的科普一下，同时给自己的学生写一个简单的学习纲要。语言上有意在往轻松诙谐的方向上靠拢，每期想得更多的是如何把复杂的问题讲的更有趣、更容易联想记忆。随着慢慢写开来，意外的收到了很多反馈和鼓励，这才让我意识到，原来我以为的这些枯燥无趣的量子多体方法，其实有很多朋友在关注。因此，后期的文章少了些风趣，多了些严谨；缺少了科普性，更像是lecture note了。如果有读者在热闹之余，还能从这个系列中总结出自己学习量子多体方法的路线、能对多个不同小方向上的知识点融会贯通，我想这个系列的任务就算超额完成了。 动力学平均场走过三十年的发展历程，回头看，其实是量子多体方法论在严谨性和可行性之间不断尝试、取舍的过程。动力学平均场抓住了量子多体问题的一个核心，即大多数情况下动力学涨落要大于空间涨落。动力学平均场的发展使得强关联电子材料的计算更为准确，让我们多了一套普适性更广的量子多体方法。我相信，在各位年轻读者的努力下，动力学平均场还会有下一个三十年，还将取得更好的发展。一方面因为它在材料计算上体现出了非凡的活力，另一方面也是因为它仍然有这么多不完美的地方，才更值得我们去寻找更好的动力学平均场理论。这需要理论工作者的努力，更需要诸如数学物理、计算机技术、计算物理上的进步。正因为这样，年轻的朋友们才更有施展才华的空间。我也很期待，一个能同时描述空间和时间涨落、刻画任意多体关联、适用于多轨道真实体系的更好理论的出现。

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