如何用电路证明傅立叶变换成立？

自我感觉傅立叶变换和拉普拉斯变换很有趣，也很有用处就想和大家分享一下，由于是科普，我不打算用数学运算进行讲解，只拿大家身边的例子进行举例，大家可以简单看一下，粗略了解一下傅立叶变换及拉普拉斯变换是什么，如果感兴趣，可以看看奥本海姆的信号与系统。

傅立叶认为任何信号都可以分解成无数个振幅不同，角频率不同的正弦波，因此提出了傅立叶变换，是时域到频域的一种变换。拿一首歌来举例，我们听到的声音就是时域，把这首歌用电脑录制下来将得到一连串的幅度随时间变化的波形，通过改变振幅可以改变这首歌的音量，但无法改变它的音调，因为音调是频域了，只能在谱曲时改变音符的方式进行改变。

如何用电路证明傅立叶变换成立？图二是一个超外差收音机的电路图，在振荡电路中（振荡电路是一个引入正反馈的放大电路，只有输出端，通电就输出振荡信号），假设LC谐振频率为1MHz，那么它就会输出一个1MHz的正弦波振荡，为什么？此时不如分析一下工作原理：在通电瞬间，或由于电流瞬间冲击，或由于晶体管噪声，或由于外界干扰，VT1集电极所接的初级绕组中会有一个瞬间电流流过，根据法拉第电磁感应定律，初级绕组的电流变化会带来磁通量的变化，而磁通量的变化又会引起次级绕组（LC谐振电路）的电流变化，暂假设这个这个电流不能分解成无数振幅不同，角频率不同的正弦信号，则LC谐振电路就选择不出f=1MHz的频率，振荡就无法建立，电路就无法起振，可实际并非如此，这个电路确实可以起振，这就说明这个电流中有1MHz的频率，傅立叶变换成立。那么，傅立叶变换在生活中有什么应用？

乔碧萝奶奶的变声器就是一个例子，她的嗓音不可能那么甜，因为她的嗓音有很多谐波分量，此时把这些谐波分量去掉声音就纯净了。还有各种自拍软件的祛痘功能，图片是二维的，是亮度随时间变化的函数，反映脸型的肯定是低频频率，反映眼睛鼻子耳朵的肯定是较高的频率，那么反映连上细小缺陷都肯定是非常高的频率，把这个频率去除，就可以拿去照骗了。当然了，傅立叶变换在生活中还有很多我就不举了。

但傅立叶变换实际上有一个局限性，就是要求这个信号绝对可积，可实际上很多信号都不满足这一条件，于是拉普拉斯就说了，你将原时域函数乘上一个与 σ相关的衰减因子，不就行了吗？这就是拉普拉斯变换，所以傅立叶变换可以看做拉普拉斯变换的特殊形式，傅立叶变换就是 σ为0时的拉普拉斯变换，这就是二者的互通性。

另一个角度来看，傅立叶变换是将时域的函数变换到频域，即ω域。 拉普拉斯变换是推广到了复频域，即s域。 如果这个复数的实部为0，那么就回到单纯的频域。