先验概率和代价函数均模糊时基于贝叶斯最小风险准则的分布式决策

先验概率和代价函数均模糊时基于贝叶斯最小风险准则的分布式决策融合

当先验概率和代价函数均为梯形模糊数时，在贝叶斯最小风险准则意义下，研究了在融合中心对多个独立传感器的决策进行最优融合的问题，给出了四种决策融合算法，通过仿真和比较这四种融合算法的结果，找到了一种最适用于这种场合的最优决策融合算法.结果表明，在先验概率和代价函数均为梯形模糊数情况下所导出的最优决策融合规则是各检测器决策的加权和与一门限之比较，权重是各检测器检测概率和虚警概率的函数，门限除与最优融合准则、先验概率和代价函数有关外，还与使用的去模糊方法有关.
　　关键词:决策；融合；模糊先验概率；模糊代价函数；贝叶斯风险准则

Optimal Distributed Decision Fusion with Fuzzy a priori Probabilities and Fuzzy Cost Functions Based on Minimum Bayesian Risk Criterion

WANG Guo-hong　MAO Shi-yi
(Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100083,China)
HE You
(Naval Aeronautical Engineering Academy,Yantai 264001,China)
CHEN Li-xin
(Telecommunication Transmission Institute,Beijing 100045,China)

　　Abstract:When the a priori probabilities and cost functions are fuzzy,the optimal decision fusion in the sense of minimum Bayesian risk at the fusion center is considered.The fusion center receives decisions from various distributed sensors and four optimal decision fusion schemes at the fusion center are derived.It is discovered that the optimal decision fusion rule is a weighted sum of local decisions in this case,the weights are functions of the probability of detection and the probability of false alarm of the detector,and that the threshold depends not noly on the fuzzy a priori probabilities and cost functions but also on the criterion used for defuz***ying fuzzy sets.Through the simulation,an optimal decision fusion scheme which is most suitable for fuzzy a priori probabilities and cost functions with trapezoidal membership functions is found.
　　Key words:decision;fusion;fuzzy priori probabilities;fuzzy cost functions;Bayesian risk criterion

一、引　　言
　　近十几年来，具有数据融合功能的分布式检测系统引起了人们的广泛关注［1～4］.其中，在先验概率和代价函数确切已知时，文献［1～3］基于贝叶斯最小风险准则对分布式检测系统进行了研究.我们知道，贝叶斯最小风险准则与先验概率和代价函数有关，而在实际场合中，先验概率和代价函数均有可能处于不确切已知的模糊状态.例如，在雷达系统中，信息状态的先验概率并不在雷达系统的直接控制下，先验概率与雷达系统工作的特定环境有关，从统计等方法得到的先验概率常常是标称值，因此，用一个区间或模糊数来表征信息的先验概率可能是更合适的；同样，实际中很难用一确切值来表征某种判决的代价，而用模糊数来表征代价函数则可能更符合实际情况.对分布式决策融合系统，当先验概率和代价函数均模糊时的最优融合结构(在贝叶斯最小风险准则意义下)及模糊先验概率和模糊代价函数对融合系统性能的影响如何，是一个至今尚水研究的问题.本文对此进行了研究，并在先验概率和代价函数均为梯形模糊数的情况下，基于贝叶斯最小风险准则导出了最优的决策融合算法，并通过仿真得出了一些结论.

二、两种新的去模糊方法
　　在推导决策融合算法之前，本节首先提出二种新的去模糊方法.设B为一模糊数，其α-截集为去模糊后的清晰值记为，令B=，其中，B和之间的“=”符号表示一种“序”关系.
　　1.TDC去模糊方法
　　文献［5］给出了模糊数排序的TDC(Total Distance Criterion)方法，即是要通过映射把横糊数B映射到实数轴上，通过比较FTDC(.)的大小，来确定模糊数之间的“序”关系.显然，根据模糊数排序的TDC准则，有FTDC(B)=FTDC().由于是一清晰值，因此可得=FTDC().于是，可得基于TDC准则的去模糊方法为

　(1)

　　本文把这种新的去模糊方法称之为“TDC去模糊方法”，它实际上是用模糊数的总距离来代替该模糊数.
　　2.URI去模糊方法
　　文献［5］给出了模糊数排序的URI (Utility Ranking Index)方法，即是要通过映射把模糊数B映射到实数轴上，通过比较FURI(.)的大小，来确定模糊数之间的“序”关系.根据模糊数排序的URI准则，应有FURI(B)=FURI().由于是一清晰值，因此可求得FURI()=ln(2)=2ln().于是，可得基于URI准则的去模糊方法为

　(2)

本文把这种新的去模糊方法，称之为“URI去模糊方法”，它实际上是用模糊数排序的效用指标来代替该模糊数.

三、决策融合模型及性能分析
　　考虑如下的二元假设检验问题：

H0:信号不存在
H1：信号存在.

假定有n个检测器，各个检测器的观测是统计独立的，第i个检测器作出的决策为ui，i=1,…,n，且当接受H0时，ui=-1，当接受H1时，ui=1.又设第i个检测器的虚警概率和检测概率分别为PFi和FDi，各个检测器在作出决策ui之后，将决策ui送到融合中心.基于各个检测器的决策报告，系统融合中心作出系统级的决策u,且当接受H0时，u=-1，当接受H1时，u=1.设两种假设的先验概率分别为P(H0)=P0和P(H1)=P1，当假设Hj(j=0,1)为真时，判决接受假设Hi(i=0,1)的代价为Cij，并设Pj和Cij均为模糊数，其隶属度函数的形式取决于特定的应用场合和一定的主观判断，为方便起见，本文中假定它们均为梯形模糊数(常见的三角模糊数和区间数是它的特例)，Pj和Cij的隶属度函数形式如图1所示.由于错误判决的代价一般总是大于正确判决的代价，因此，本文中假定c011＞c112,c101＞c002.i,j=0,1，很容易由图1求得Pj和Cij的α-截集并分别记为由于P0和P1是两种互斥且完备假设的先验概率，因而，尽管它们是模糊的，它们也必须满足P0=1-P1，从而必有下列关系式成立：p01=1-p12,p02=1-p11,p0l=1-p1r和p0r=1-p1l.

图1　Pj和Cij的隶属度形式

　　由于对Pj的特定清晰值pj和Cij的特定清晰值ci,j,i,j=0,1，可用贝叶斯最小风险准则进行分布式判决融合，因此，当Pj和Cij,i,j=0,1均为模糊数时，可以象处理清晰值的先验概率和代价函数那样得到分布式决策融合算法，为

　(3)

其中

　(4)
　(5)

　　由于γ是模糊的，因此若按式(3)进行分布式决策融合的判决，就涉及到一个清晰值和一个模糊数的比较问题.为此，本文提出以下四种对γ进行处理的方法：
　　方法1：按最大隶属度去模糊方法直接对各模糊数作去模糊处理
　　由于Pj和Cij均为模糊数，因此，一种最直接的方法就是对Pj和Cij,i,j=0,1按某种去模糊方法作去模糊处理，得到Pj的估值j和Cij的估值ij，并将j和ij代入式(5)以替换Pj和Cij,从而确定γ的估值，即

　(6)

由于P0和P1是两种互斥且完备假设的先验概率，因此在对P0和P1去模糊时，要求所选择的去模糊方法应满足0+1=1.在本文给出的条件下，若按最大隶属度去模糊方法对Pj和Cij进行模糊处理，即令

　(7)

则易验证该去模糊方法能够满足0+1=1的要求.按式(7)得到j和ij之后，将其代入式(6)即可得γ的去模糊值.
　　方法2：按TDC去模糊方法直接对各模糊数作去模糊处理
　　直接对各模糊数去模糊的第二种方法是采用TDC去模糊方法，即i,j=0,1，令

　(8)
　(9)

同样可验证该去模糊方法能够满足0+1=1的要求.按式(8)和(9)分别得到j和ij,i,j=0,1之后，同样将其代入式(6)即可求得γ的去模糊值.
　　方法3：按TDC去模糊方法对γ作去模糊处理
　　i=0,1，若令
　　　a01=c10l-c101+c002-c00r
　　　a02=c10r-c102+c001-c00l
　　　a11=c01l-c001+c112-c11r
　　　a12=c01r-c012+c111-c11l
　　b01=c101-c002,b02=c102-c001
　　b11=c011-c112,b12=c012-c111
　　h1i=ai1(pil-pi1),h2i=ai2(pir-pi2)
g1i=ai1pi1+bi1(pil-pi1)
g2i=ai2pi2+bi2(pir-pi2)
f1i=bi1pi1,f2i=bi2pi2
则经过一定的运算可以求得γ的α-截集为(γ)α［γα1,γα2］，其中

　(10)

得到γ的α-截集之后，若令

Fj=∫10γαjdα,j=1,2　(11)

则可利用TDC去模糊方法得到为

　(12)

　　方法4：按URI去模糊方法对γ作去模糊处理
　　j=1,2,i=0,1，若令

Fji=∫10ln(hjiα2+gjiα+fji)dα　(13)

则按URI去模糊方法可得到为

　(14)

　　在采用上述四种方法得到之后，若令

β=ln()　(15)

就将式(3)的决策融合规则变为

　(16)

　　式(16)就是在先验概率和代价函数均模糊情况下，基于贝叶斯最小风险准则所推导出来的最优分布式决策融合规则，其门限β由式(15)所确定.由此可以得到下列结论：(1)无论采用哪种去模糊方法，最优决策融合规则仍是各检测器决策的加权和与一门限之比较，这与先验概率和代价函数为清晰值时的结构是一样的；(2)与先验概率和代价函数为清晰值时一样，权重只是各检测器检测概率PDi和虚警概率PFi的函数；(3)在先验概率和代价函数均为梯形模糊数时，门限除与最优融合准则、先验概率和代价函数有关外，还与使用的去模糊方法有关.
　　在推导出决策融合模型之后，下面分析系统的性能.在一般情况下，融合中心的虚警概率和检测概率的表达式是很难得到的.但是，当各个检测器相同且工作在相同的工作点时，即对所有的i和j有PFi=PFj=PF和PDi=PDj=PD，则决策规则可以简化，且也可得到虚警概率和检测概率的表达式.设PfF和PfD分别表示融合中心的虚警概率和检测概率，且令Pf10=PfF,Pf00=1-PfF,Pf01=1-PfD,Pf11=PfD，则融合中心的贝叶斯风险C为C=∑1j=0∑1i=0PjCijPfij,且C的α-截集为(C)α［Cα1,Cα2］，其中

利用TDC去模糊方法即可得到系统融合中心贝叶斯平均风险C的估值为

四、举　　例
　　在各传感器及其工作点相同的条件下，对本文提出的四种方法进行了仿真比较，得到的结果如表1所示，其中的n,PF和PD分别表示检测器个数、检测器的虚警概率和检测概率，“状态1”至“状态4”的含义如表2所示.除表1给出的结果外，还进行了大量的仿真.由仿真结果可以得出以下一些结论：(1)这四种融合算法的性能均与模糊先验概率、模糊代价函数、检测器性能和传感器数量有关；(2)在先验概率和代价函数均为梯形模糊数的情况下，“方法2”(即采用TDC去模糊方法直接对各先验概率和代价函数去模糊)的性能优于其它三种方法的性能，可以作为先验概率和代价函数均为梯形模糊数情况下分布式决策融合的首选方法；(3)在虚警概率比较小和检测概率比较大的情况下，四种方法可以得到几乎一致的结果，因此，本文的方法特别适宜于各检测器性能不够好的场合；(4)尽管四种方法所得的门限一般是不相同的，但在许多情况下，四种方法又可以得到一样的结果，这说明融合系统能提高系统的鲁棒性；(5)用TDC去模糊方法对γ作去模糊处理所得结果不如用TDC去模糊方法直接对模糊先验概率和代价函数作去模糊处理所得结果，这说明TDC去模糊方法比较适合于对梯形模糊数作去模糊处理.

表1　四种方法的仿真结果比较

仿真条件				贝叶斯风险估值
Pj、Cij	n	PF	PD	方法1	方法2	方法3	方法4
状态1	3	0.1	0.6	4.9373×105	4.8333×105	4.8333×105	4.8333×105
状态1	4	0.1	0.7	4.8333×105	4.8062×105	4.8062×105	4.8333×105
状态1	3	0.01	0.6	4.8333×105	4.8333×105	4.9903×105	4.8333×105
状态2	3	0.1	0.6	4.5504×105	4.5171×105	4.5171×105	4.5504×105
状态2	4	0.1	0.7	4.3792×105	4.3792×105	4.5085×105	4.3792×105
状态2	3	0.01	0.6	4.5504×105	4.4456×105	4.4456×105	4.5504×105
状态3	3	0.1	0.6	1.9482×105	1.8958×105	1.9482×105	1.8958×105
状态3	3	0.01	0.6	3.2381×105	3.2381×105	3.2381×105	3.2381×105
状态4	5	0.1	0.6	6.0199×104	5.9023×104	6.0199×104	6.0199×104
状态4	3	0.01	0.6	5.1625×104	5.1625×104	6.0687×104	5.1625×104

表2　“状态1”至“状态4”的含义

状态	含　　义
状态1	C00=(10000　35403　83830　90000)， C10=(100000　168130　180430　200000)， C11=(400000　477550　538740　600000)， C01=(800000　930400　940900　100000)， P1=(0.7098　0.982　0.9863　0.9888)
状态2	C00=(10000　78869　84115　90000)， C10=(100000　181760　195550　200000)， C11=(400000　492450　594770　600000)， C01=(800000　901200　960500　100000)， P1=(0.2152　0.7486　0.9771　0.9828)
状态3	C00=(10000　59988　85259　90000)， C10=(700000　914400　925600　1000000)， C11=(100000　172790　372470　900000)， C01=(700000　747900　801600　1000000)， P1=(0.4762　0.4845　0.4884　0.4929)
状态4	C00=(6637　24937　34573　45064)， C10=(105010　181160　258180　340960)， C11=(41800　47677　82244　84688)， C01=(112540　114120　182970　269790)， P1=(0.2661　0.2868　0.4821　0.494)

五、结　　论 　　在先验概率和代价函数均是梯形模糊数的情况下，研究了在融合中心对多个独立传感器的决策进行最优融合的问题.首先，基于TDC和URI模糊数排序准则提出了二个新的去模糊方法，即TDC去模糊法和URI去模糊法；然后，在最小贝叶斯风险准则下，利用提出的去模糊方法，给出了四种最优融合算法；最后，对算法进行了仿真验证，得出了有价值的结论.由于三角模糊数和区间模糊数是梯形模糊数的特例，因而，可以很方便地把本文的结论推广到先验概率和代价函数是三角模糊数或区间模糊数的场合.