电子发烧友App
凡用二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。二阶电路中含有两个独立的储能元件。本节以
串联电路为例，讨论二阶电路的零输入响应。
图8-7-1
图8-7-1为串联电路，当
时，假设电容C曾充过电，初始电压为
，电感L处于零初始状态，即
。在
时刻，开关S闭合，求零输入响应
、与。
如图8-7-1所示选取各电压、电流的参考方向。开关S闭合后，根据基尔霍夫电压定律列写描述电路的微分方程：
（式8-7-1）
（式8-7-1）中有两个未知变量i和。将代入上式消去，得到：
即：
（式8-7-2）
也可以得到：
（式8-8-3）
（式8-7-2）与（式8-7-3）形式完全一致，都是线性常系数二阶齐次微分方程，可任选其中一式求解，现选择（式8-7-2）。求解二阶微分方程，需要两个初始条件来确定积分常数。
根据换路定则：
，
特征方程为：
特征根为：
（式8-7-4）
特征根只与电路结构和参数有关。
下面分三种情况讨论方程的解。
（1）当即时，过渡过程是非周期情况，也称为过阻尼情况。此时特征方程有两个不相等的负实根。通解的一般形式为：
（式8-7-5）
电流：
（式8-7-6）
其中积分常数A1、由初始条件确定，对（式8-7-5）（式8-7-6）取时刻值：
，
由初值：
，
联立求解上两式得：
（式8-7-7）
将A1、代入（式8-7-5）（式8-7-6）得：
电容电压：
（式8-7-8）
电流：
电感电压：
又因，于是：
（式8-7-9）
（式8-7-10）
图8-7-2
、、随时间变化的曲线如图8-7-2所示。在（式8-7-8）中，包含两个分量，S1、S2都为负值，且，故比衰减得快，这两个单调下降的指数函数决定了电容电压的放电过程是非周期的。
电感电压在时初值为，在时，由于电流不断负向增加，为负；在后，电流负向减少，为正，最终衰减至零。
如果，或，时，分析过程与上相同。
（2）当
即时，过渡过程是临界阻尼情况，此时特征方程有两个相等的负实根。
（式8-7-11）
电容电压的一般形式为：
（式8-7-12）
电流：
（式8-7-13）
由初始条件确定积分常数、
：
，
解之得：
，
因此：
（式8-7-14），
（式8-7-15）
（式8-7-16）
、、随时间变化的曲线与图8-7-2所示的曲线相似，响应仍然是非周期性的，非振荡性的。
（3）当
即
时，过渡过程是欠阻尼情况，是周期性振荡情况。此时特征方程有两个实部为负的共轭复根。令，称为衰减系数，
为谐振角频率，
称为振荡角频率，则特征根为：
（式8-7-17）
电容电压的一般形式为：
（式8-7-18）
电流：
（式8-7-19）
由初值确定积分常数A、
，对（式8-7-18）、（式8-7-19）取
时刻的值，得到：
联立求解得：
，
（式8-7-20）
于是：
（式8-7-21）
（式8-7-22）
（式8-7-23）
图8-7-3
、、的波形如图8-7-3所示，它们都是振幅按指数规律衰减的正弦波，图中虚线为包络线。当达到极大值时，为零；当达到极大值时，I为零。这种幅值逐渐减小的振荡称为阻尼振荡或衰减振荡。衰减系数b越大，振幅衰减越快；b越小，振幅衰减越慢。阻尼振荡角频率
决定于由路本身的参数，电阻减小，则衰减系数减小，衰减减慢，在
的极限情况下，衰减系数
，响应变成等幅振荡，也称为无阻尼振荡。无阻尼振荡角频率
等于谐振角频率
，这时（式8-7-21）（式8-7-22）（式8-7-23）变为：
（式8-7-24）
（式8-7-25）
（式8-7-26）
上述无阻尼振荡不是由激励源强制作用所形成的，是零输入响应，因此称为自由振荡。下面从能量转换角度分析电路的久阻尼周期性振荡过程。
例8-7-1 如图8-7-4所示电路，当时开关S闭合。已知
，
，
，。试分别计算
、
及
时的。
图8-7-4例8-7-1附图
解：图8-7-4所示是一个RLC串联电路，利用前面的分析结果求解。
（1）时，，过渡过程为过阻尼情况。
，
根据换路定则：
，
于是：
求得：
，
故：
（2）当时，，过渡过程为临界阻尼情况
由初始条件得：
，
解得：
，故：
（3）当时，，过渡过程为欠阻尼情况：
由初始条件得：
，
解得：
故：
工商网监
评论