移频法频率细化的优势及在过程中遇到的问题解析

频率细化是70年代发展起来的一种新技术，其主要目的是识别谱图上的细微结构。从通常的FFT分析方法中我们已经知道，在频谱图上的有效频率分布范围是从0HZ到奈魁斯特频率fN为止，而谱线间隔（fs/N）决定了频率分辨能力，N表示数据点数，这里fs表示采样频率，且fN=fs/2。因此，要获得较高的分辨率可从下面两个方面进行。第一方面：降低采样频率，谱线间隔减小，但这样会降低奈魁斯特频率fN，从而导致频率分析范围小；第二方面：提高FFT计算长度N值，但这样要求较大的内存和降低运算速度。

１ 频率细化过程介绍

细化技术是一种一定频率范围内提高频率分辨率的测量技术，也叫细化傅里叶分析。而频率细化是在信号处理和模态分析中广泛应用的一种技术，它能够提高频率的分辨率，将选定的频率域上的特性曲线放大，从而使系统的频率特性能更清楚地显示出来，如图１所示。

设系统的采样频率为fs,采样点数为NO,则频率分辨率为：

Δf=fs/NO

从上式可以看出，要进行频率细化，即提高频率分辨率，使Δf变小，有两种方法：增加采样点数NO和降低采样频率fs,这里只介绍降低采样频率的方法。

这种方法主要是基于移频原理，如图2所示。

设想要移频部分的频率为fp,其角频率为wp=2πfp,令f （t）=exp（-jwpt）。时域信号x（t）与f（t）卷积后，则在频域上，该信号的fp频率就移到了原点处。

信号频率移到低频后，经过低通滤波，就可以用低的采样频率进行采样，从而达到提高频率分辨率、频率细化的目的。具体过程如图3所示。

2 移频法频率细化过程中几个问题的分析

（1）非细化处理的系统采样频率为fs,采样点数为NO。对于细化过程，设频率细化倍数为Nr,信号经过抗混叠滤波器后进行A/D采样，采样频率应仍为原来的fs,保持不变，采样点数则为Nr*NO,这样就保证了细化与非细化处理的基本频带范围保持不变，并且可以细化这一频带中的任何一段。

（2）要细化的频率范围为fl～fu,移频后，低频点fl移到原点，则高频点变为（fu-fl）。这时数字低通滤波器的截止频率应大于（fu-fl），并小于低频重采样频率fs/Nr的一半。即截止频率的范围为：

（fu-fl）＜fc＜fs/2Nr

且可以得到最大细化倍数Ｎ与细化频率范围之间的关系为：

Nr＜fs/2（fu-fl）

这为设置细化倍数范围提供了依据。

（3）数字低通滤波器的通带必须平，通带内波动要小，这样原信号的频率特性细化后在幅值上才不会改变；同时，最好使滤波器的带外衰减＞-70dB,且-70dB处的频率＜fs／2Nr,这样就能保证低频重新采样时抗混叠的效果最好。

（4）细化与不细化过程占用时间的比较：由于采样点数NO保持不变，因此细化处理的FFT时间与不细化的FFT时间一样，都是 NOLog（NO）/2;细化过程要进行Nr*NO点的高频采样和NO点的低频采样，而不细化过程只进行NO点的高频采样，所以在采样时间上，细化过程要稍长一点。

（5）移频法频率细化与增加采样点数频率细化的比较：移频法频率细化只进行NO个点的FFT变换，和一些数组、矩阵的运算，它所花的时间约为：NOLog（NO）/2;而采用增加采样点数频率细化要进行Nr*NO个点的FFT变换，它所花的时间约为：（Nr*NO）Log（Nr*No） /2。

移频是将感兴趣的频段的下限频率移至原来的零频率位置，以便有可能将感兴趣频段放大到整个频率显示范围上，需首先对信号进行频率调制。这里采用的是复数调制法，如果欲将某一频率fo移至原来的零频处，则以原信号x1与 exp（-j2pi*f0*k*？t） 相调制得：实部为 x1cos（（2*pi*f0*k）/（N*？f）），虚部为-x1sin（（2*pi*f0*k）/（N*？f））。若令L0=f0/？f（？f---原有的频率分辨率），即为频率在原频谱图中所对应的谱线序号，则实部和虚部即可以写为： x1cos（2*pi/N*L0*k）及 -x1sin（2*pi/N*L0*k），合并实部和虚部可以得到调制后的信号为 wn=exp（-j*2pi/N），

由于移频使fl前面的频段移到频域的负轴上，而低通滤波又滤掉了fu后面的高频部分，因此，这种方法只能进行一段频率的细化，不能进行全频段的细化，这是移频法频率细化的缺点。要进行全频段细化，可以采用增加采样点数的方法。

３ 用MATLAB仿真频率细化过程

用MATLAB程序仿真图3这个过程，主要实现A/D采样、移频、低通滤波、低频重新采样、FFT变换等，同时注意上面几个问题的分析。

总信号由302Hz、304Hz、306Hz、308Hz四个不同频率、不同幅值的正余弦信号合成。采样点为512,采样频率为5120Hz,则频率分辨率为10Hz,这在频域内分辨不出这四个信号。仿真软件在300～320Hz范围内细化10倍，则这时频率分辨率为1Hz,就可以逐渐看清楚这四个信号。

x（t）=sin（2*302）+2cos（2π*304）+3sin（2π*306）＋4sin（２π*308）

细化处理需要5120个采样点，仿真时A/D采样用对连续信号x（t）进行离散化来代替，离散化的点值就是采样值，它们组成一个数组（矩阵），这是一个点序列。

采样完成后，对采样点进行移频仿真（将300Hz移频到原点），由以下步骤实现：

令：F1=300W1=２π*F1

f（t）=exp（-jw1*t）

ｔ取离散化时刻，Δt=1/fsTk=k*Δt

则f（t）离散化可变为：

f（k）=exp（-jw1*Tk）

=exp[（-j2π*f1*k）/fs]

这也是一个点序列。

MATLAB将上面两个点序列进行卷积（矩阵相乘），得到一个新的点序列，就实现了移频过程，即使F1=300Hz 在频域上移动了0,其它频率特性依此前移。

MATLAB语言有很方便的滤波器设计和数字滤波功能，可用它设计一个带内波动＜0.1dB,带外衰减＞-70dB,截止频率为20Hz的低通滤波器，并将上面的点序列进行数字滤波，得到一个只在0～20Hz频段上有特性曲线、其它频段被滤掉的信号的点序列。

对上面的点序列每隔10点（细化倍数）进行抽取，实际上就是对经移频、滤波后的信号进行重新采样。采样频率为S120Hz/10,即采样频率降低了10倍，抽取得到512个点。

对这512个点进行FFT变换，就可以得到300Hz～320Hz频段上已细化10倍的频率特性曲线了，结果如图4、图8所示。

用仿真程序分别进行2、4、8、10倍的频率细化，从运行结果可以看出，细化倍数越大，频率分辨率就越高，频域波形越看得清楚，这与理论是相符合的。