动能定理公式的理解与推导

动能定理的概念

动能具有瞬时性，是指力在一个过程中对物体所做的功等于在这个过程中动能的变化。动能是状态量，无负值。

合外力（物体所受的外力的总和，根据方向以及受力大小通过正交法［1］能计算出物体最终的合力方向及大小）对物体所做的功等于物体动能的变化。即末动能减初动能。

动能定理一般只涉及物体运动的始末状态，通过运动过程中做功时能的转化求出始末状态的改变量。但是总的能是遵循能量守恒定律的，能的转化包括动能、势能、热能、光能（高中不涉及）等能的变化。

动能定理公式的理解与推导

推导过程分析：

（1）确定研究对象，研究对象可以是一个质点（单体）也可以是一个系统。

（2）分析研究对象的受力情况和运动情况，是否是求解“力、位移与速度关系”的问题。

（3）若是，根据动能定理ΔW=ΔE列式求解。

处理多过程问题：

应用动能定理处理多过程运动问题关键在于分清整个过程有几个力做功，及初末状态的动能，采用动能定理处理问题无需考虑其具体的运动过程，只需注意初末状态即可，求往复运动的总路程及次数问题，若用牛顿定律和运动学公式求解，必须用数列求和的方法，但对于其中的某些问题求解，如用动能定理求解，可省去不少复杂的数学推演，使解题过程简化。

推导步骤：

对于匀加速直线运动有：

由牛顿第二运动定律得，

①

匀加速直线运动规律有，

②

①×②得，

外力做功，记

即

对于非匀加速直线运动，

进行无限细分成n段，于是每段都可看成是匀加速直线运动（微元法思想）

对于每段运动有，

W1=Ek1-Ek0

W2=Ek2-Ek1

……

Wn=Ekn-Ek（n-1）将上式全部相加得

推导完毕

应用动能定理解题的基本步骤

用动能定理解题的基本步骤可用六句话十八字概括，即定对象、明过程、力分析、表达功、列方程、解后析．

应用动能定理解题的关键

从动能定理表达式不难看出，应用动能定理解题关键是在方程的左边，即各个力做功的代数和，为此除了知道物体受几个力外，更主要的是掌握各个力做功的特点及功的大小的求解方法．有关几种力做功的特点及求解方法总结如下：

1）重力、电场力等保守力做功与移动的路径无关，只与始末2个位置有关．如重力做功只与始末位置高度差有关；

2）方向始终与速度方向垂直的力不做功．典型代表如竖直平面内的细绳或轻杆拴住的物体做圆周运动时，细绳或轻杆的弹力不做功．物体在接触面上动时接触面的弹力以及带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力同样不做功（此结论可用微元法证明）；

3）大小不变，方向始终与速度方向相反的力，典型如摩擦力或空气阻力等，其做功等于一F路，式中s路表示物体走过的总路程，注意是总路程而非总位移！（此结论同样可用微元法证明）

4）同一根绳或轻杆对与之相连的物体做功之和一定为零．该结论在解决系统机械能守恒问题时非常有效；

5）一对静摩擦力做功之和一定为零（意味着静摩擦力做功不会产生热力学能）．一对滑动摩擦力做功之和一定为负（意味着滑动摩擦力做功一定会产生热力学能）。

动能定理解题例题

如图1所示，质量为m的物体与水平转台之间的动摩擦因素为，物体与转台转轴相距为R，物图l体随转台由静止开始转动．当转速增加到某值时，物体即将开始滑动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功是（）

解析：物体受到的摩擦力提供物体做圆周运动所需要的向心力、，显然其大小及方向均发生变化，故属于一般变力，其做功的求解只能用动能定理．当物体将要开始滑动时，说明物体受到的摩擦力达到，2最大值．由向心力方程得再由动能定理（物体受三个力，其中只有摩擦力做功）得两式联立解得，答案选A．

借题发挥：

应用动能定理求解变力做功要注意的问题；①所求的变力不一定为总功，所以所求的变力的功不一定等于AE；②合力对物体所做的总功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能；③若有多个力做功，必须明确各力做功的正负．待求的变力的功若为负功，可以说克服该力做功为W，则表达式中应用一W，也可以设变力的功为W，则字母w本身含有负号．④动能定理虽然是通过恒力作用、直线运动推导出来的，但也适用于变力作用、曲线运动的情况．

应用动能定理求解往复运动的总路程（应用动能定理求解多过程问题）

对大小不变，方向始终与速度方向相反或相同的力如滑动摩擦力、空气阻力等，当物体做往复运动时其做功等于力与物体走过的路程的乘积．根据该特点可求解物体走过的总路程。