我们去做“矢量分析”的时候，为什么困难呢？

矢量分析是学习《电磁波与电磁场》《电动力学》，必备的数学技能。电磁波和电磁场的理解，对我们学习射频的相关知识是根基。但是，很多朋友在碰到矢量计算的时候，都是百爪挠心。用语言去描述麦克斯韦方程组都神头鬼脸，来个方程解一下，或者推到个公式都抓瞎。

这是为什么呢？

原因1、学习路径长，激励反馈周期长


首先，我们完全理解和学会的路径比较长，也就是说，他本身就不是很容易学习的内容。体会到学习成果的激励反馈比较慢。

也是我们学习的最大障碍，我们可以连续一个小时很愉快的嗑瓜子，但是很难连续一个小时愉快的学习。

能磕一个小时无压力。我们换个规则，现在你只能磕，不能吃，瓜子仁留下来。磕一个小时，才把瓜子仁一次吃完。是不是有点无趣了？同样的时间，瓜子仁也没少吃，为什么感觉变了？

很多大事情，都是由一个个小事务重复或迭代而成，每个小事务中，包含了反馈和校正。反馈的周期越短，越为容易上手。磕瓜子容易，因为在两秒内就能得到反馈。而学习难，因为学习的反馈周期长。

一个典型的学习周期是这样：学习，思考，应用，校正。这个周期越短，学习就越轻松。合理的安排学习计划，缩短学习周期，同样的东西，可以学得更高效，轻松。

如果我们学习一个简单的东西，越直观的东西越容易学会，往往容易获得成就感，大家也愿意学，愿意用。比如说：老年人学习用电脑学了N长时间，也学不会，没法理解《我的电脑》、《注册表》、《控制面板》等等，很快就放弃使用电脑了，不愿意用电脑，不愿意去理解电脑。但是老年人、小朋友很容易学会使用。

我们去做“矢量分析”的时候，为什么困难呢？因为我们高数学习的内容在大一考完试的时候已经还给老师了。或者考试靠背题，背完就忘记了。

没有人帮我们分解，我们学习这门课，需要哪些数学知识。必备的数学知识，在学习的时候，并没有人告诉我们这些事有用的，或者未来可能做什么用。（而科学家在发明数学工具的时候，是有某些目的的发明的）。

当同学们发现，屮艸芔茻，当年高数就是糊弄过去的，你现在让我复习明白？就选择继续糊弄这门课了。。。。

根据这样的知识体系需求，按需学习，减少学习量，避免学习周期过长，而囫囵吞枣，或者半途而废。

根据大家的大多数人的情况，不建议选择不讲述数学概念的电磁波的书籍。例如这本：

原因2 早期的一些概念误导，你需要清理自己的大脑内存。

在高中数学时，两个字母相乘，中间放个点、放个X、什么都不放，是一个意思。这里其实对于大多数学生来说，理解没有什么障碍，但是在表达习惯上，带来了严重的困扰。

也就是在推导计算的过程中，有的朋友已经习惯了两个数相乘，中间放个点。但是此点、非彼点。写多了，就乱了，自己也糊涂了。到底是是矢量还是标量？到底是“点乘”还是“乘以”。

所以，我们需要在这方面做一些训练，在表达上面，需要区分“点乘”、“叉乘”、“标量相乘”，因为他们具有不同的物理含义，不同的数学计算方法。

原因3、课本中往往只生硬的介绍数据概念，不解释物理应用

这里比较典型的是“点乘”、“叉乘”的概念。

有些课本往往直接给你拍个公式，让你很茫然。

点积

叉积

这样的新概念扔给你，一定是一脸懵B。有毛用？我为什么要掌握它？

但是如果，先帮你回忆一下“做功”的计算过程：

W=FS cosθ 中S是位移，要与路程区别开来。例如，一个人从地面提起物体又放回原地，那么重力所做的功是多少呢？因为物体又放回原地了，物体位移的大小为零，所以W=0。

那么这里：位移是一个矢量、力也是一个矢量。我们以前计算的时候，其实是把这两个物理量先简化为标量，然后看夹角。但是我们现在升级了，现在要区分标量和矢量。这两个物理量，以及计算，直接就标示为：

力有方向、位移也有方向。但是两者综合出来的结果，功，没有方向，是一个标量。而且这个计算结果，是W=FS cosθ ，符合我们原来的认知；

实际对于物理量的理解：力量与位移一致的方向上才做功，上图中小聪做了不少无用功，小明相对省功。这一计算过程其实是：力量在位移方向的投影，这个cosθ可以看做是一个投影的过程。

上面的概念并不难理解，但是我为什么罗里吧嗦说半天呢？

启迪未知事物的探索，引导已知事物的深入了解

我们应该从我们已经掌握的知识点出发，去拓展新知识，形成完整的知识体系，形成更高层次的认知，而不是只是灌输一些新的概念，然后让学习者去记忆。

同样的“叉积”，我们也应该找一个形象的物理模型：

洛伦兹力

在电动力学里，洛伦兹力（Lorentz force）是运动于电磁场的带电粒子所受的力。根据洛伦兹力定律，洛伦兹力可以用方程，称为洛伦兹力方程，表达为

其中， F是洛伦兹力， q是带电粒子的电荷量，E是电场强度， v是带电粒子的速度， B是磁感应强度。

洛伦兹力定律是一个基本公理，不是从别的理论推导出来的定律，而是由多次重复完成的实验所得到的同样的结果。

感受到电场的作用，正电荷会朝着电场的方向加速；

根据上面的公式：

我们按照“叉积”的右手定则，四指先指向电流的方向，然后弯向磁场方向，就得到了力的方向。

有的朋友要提出了：“洛伦兹力不是左手定律么？”这里用“叉积”的时候，怎么又变成了右手定律？此处我们一定要像印度友人一样，分得清左右手。右手用于手抓饭，左手做其他事情。。。。

此处，我们用了“vXB”叉积的表达方式之后，我们可以忘记我们的左手。

再举个例子：梯度。

某书中的描述，又过于口语化表达，弄得读者很是糊涂：

首先什么是“最快”？为什么max值。

就是需要理解“点乘”的最大值，是两个矢量方向一致，这样上述投影才会是最大的。

假设你站在一个山上四处遥望，发现最陡的方向，就是梯度的方向。

其实，帮助大家更利于理解一些概念，需要用一些文科生思维，去描述和解释一些理科现象和公式，讲现象与公式结合起来，才能够形成这种深刻理解，或者说这种强力记忆点。

因为不是每个人都是数学天才，也不是每个人看到一个概念就能理解，理解一个概念就能够记住。需要我们通过具象思维，去解释和关联一些抽象思维。

否则就成了背题背概念，这种悲剧了。

原因4 书本与书本之间的用语、表达方式不统一

例如 矢量的表达方式，三本书，三种表达方式。

在《高等数学》同济大学数学教研室，这本书讲的是 向量，向量场；而在所有的电磁场、电动力学的课本里面，又使用 矢量、矢量场。同时，在《高等数学》的课程中，并没有汉密尔顿算子的介绍。

这里需要说的，就是某些大学的课程体系不成熟。课程设置的先后顺序，教材选择的合理性，需要优化。

原因5 想象能力

矢量分析，说到底是需要三维想想能力的。

说个简单的，矢量的加减法，你是否能够在脑海里面复现，三维坐标。当解释梯度、散度、旋度的时候，你是否脑海里面浮现对应的场景？

其实矢量分析对想象能力、特别是空间想象能力还是有很高的要求的。

爱因斯坦凭借思想实验，完成了狭义相对论、广义相对论的

火车思想实验：狭义相对论的精髓

理解狭义相对论的关键，是同时性的相对性。爱因斯坦正是通过火车思想实验实现这一目的的。在火车思想实验中，爱因斯坦设想，有一列很长的火车，正在以一恒定的速度v沿着一直线轨道行驶。该火车的两端分别为A和B，其中间点为M。火车从A向B方向行进（即A为车尾，B为车头）。同时假定，在某一时刻t，与火车处于相同位置的铁轨也存在三点A’、B’和M’（三点分别对应于A、B和M）。A’和B’处分别有灯L1和L2，并且L1和L2在t时刻同时打开。那么，L1和L2的光线到达火车中间点M处（假定在t时刻，M点和M’点是重合的）的时间孰先孰后，还是同时到达？

电梯思想实验：广义相对论的拓展

狭义相对论是以四维平直空间中的匀速直线运动为考察对象的，适用于一切惯性系，但无法说明非惯性系中的运动现象。为了克服狭义相对论的不足，将狭义相对论推广到具有加速度的非惯性系中，爱因斯坦运用了电梯思想实验为人们打开思路。

在一理想的摩天大楼的顶上，有一正在下降的电梯。在该电梯内，有一物理学家在做实验。突然，电梯的钢缆断了，于是，电梯便处于自由落体状态向地面降落。在降落的过程中，电梯内的实验者，拿出一块手帕和一只表，然后松开双手。这两个物体会怎样运动呢？电梯外的观察者以地球作为参考系，他会发现：手帕、表和电梯连同它的天花板、四壁、地面以及里面的实验者等，都以同样的加速度下落。而电梯里面的实验者则会以电梯作为参考系，因为引力场在这一参考系之外而不被考虑，他会发现手帕和表由于不受到任何力的作用，而处于静止状态。在等效原理的帮助下，电梯思想实验告诉我们，引力场和加速度是相等的。广义相对论成功地拓展到了非惯性系中。

原因6 根因 社会导向

大多数希望把这些概念搞清楚，搞懂的目的，并不是未来我要用，或者说我在其中获得乐趣。在学校期间，很多同学没搞懂的原因是，不搞懂，不搞明白，一样是考试前突击背题。

也有一些在校的学生问我，为什么要懂这些，反正未来也用不着。其实不然，如果你希望未来承载更高层次的工作，你的数理能力决定了你的高度。

假设你做嵌入式编程，你需要掌握C语言等基本技能，但是如果需要你实现一些信号处理的算法，你光会C语言、熟悉单片机，就明显不够了。需要你掌握更多的数理知识，矩阵运算、偏微分方程、等等数学知识的储备有显得尤为重要。

另外，具体就不知道高校里面对老师是否把学生教会了，这个点，是如何考察的？

审核编辑 ：李倩