用数学语言写作的方法简析

从粉笔到软件代码，数学家和科学家使用各种方法来表达方程式和公式，他们对数字文章背后的含义有不同的想法。

粉红色背景的数学方程式

在过去的几十年里，当研究人员不得不敲打打字机来撰写他们的科学论文时，他们经常会遇到障碍。这些机器，包括1960年代至1980年代流行的IBM Selectric系列，不包含数学符号的键，例如用于表示微积分的长“S”。当需要输入等式时，研究人员不得不寻找高尔夫球大小的银色球体，其中包含适当的字符以卡入打字机。有些人寻求解决方法来避免麻烦。

“我没有耐心使用IBM Selectric并切换球，”理查德·费曼理论物理学教授John Preskill（约翰·普雷斯基尔）说。“当我还是一名本科生时，我打出我的毕业论文，但为方程式留出了空间，然后用手写了出来。在我的博士论文中，一位技术打字员用手写出了我写的东西。

今天，打字机已经让位于PC个人计算机和其他现代技术，数学家和科学家更容易将他们的数学方程式传达给合作者和世界其他地区。研究人员在虚拟白板上分享他们的公式，用智能手机拍摄方程式的照片，并使用一种名为LaTeX（发音为lay-tech）的备受赞誉的软件程序在文档中写出方程式。在整个加州理工学院校园里，科学家和数学家都有各种用数学语言写作的方法。有些人已经数字化，而另一些人仍然更喜欢黑板的坚毅触觉。布伦理论物理学教授Fernando Brandão（费尔南多·布兰多）说，他已经改用数字笔和平板来写方程式。

“我曾经把方程式写在到处都是的纸上，”他说。“现在我节约纸张和树木”。

并非所有研究人员都以相同的方式看待这些手写符号和软件代码。有些人称数学为自然的语言，而另一些人则将其描述为抽象推理的工具。尽管如此，研究人员一致认为，数学符号使他们能够揭示我们世界中与股票市场，计算机，黑洞甚至生物相关的隐藏模式和结构。

“数学可以让你一次封装很多想法。它可以让你找到切入问题核心的精辟解决方案，“数学教授Tom Hutchcroft（汤姆·哈奇克罗夫特）说。“想象一下下棋，每走一步棋都得写下一段记录一下。这就是在没有方程式的情况下做数学的样子。

古代算术

第一个书面的数学符号可以追溯到几千年前，可以发现雕刻在黏土片、石头和木头上。古埃及人用符号或象形文字描绘了以10的幂排序的数字，例如莲花，手指和青蛙。

我们所知道的现代数学符号直到14世纪开始的文艺复兴时期才开始流行起来。例如，在引入符号之前，古希腊数学家阿基米德通过使用六边形来近似圆来推导出pi的值，但是在不使用pi符号——π的情况下这样做，而π直到18世纪初才被引入来表示数学常数。

左图：公元前2000年的巴比伦黏土片，上面刻有算术表。

图片提供：Osama Shukir Muhammed Amin FRCP(Glasg)

右图：一个信封，上面有阿尔伯特·爱因斯坦在1919年手写的计算结果。

图片提供：阿尔伯特·爱因斯坦档案馆，希伯来大学。

随着数学的进步，数学家和科学家写下方程式的需求也在增加。19 世纪 70 年代打字机的出现使这项工作变得更容易，但这仍然是一项繁琐的任务。事实上，许多已发表的论文，包括阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）的论文，他曾三次担任加州理工学院的客座教授，以及加州理工学院长期担任物理学教授理查德·费曼（Richard Feynman）的论文，都包含夹在打字文本之间的手写方程。

爱因斯坦实际上在信封的正面和背面写字以进行计算，加州理工学院的Robert M. Abbey（罗伯特·艾比）历史教授兼爱因斯坦论文项目主任Diana Kormos-Buchwald（戴安娜·科尔莫斯-布赫瓦尔德）解释说。该档案包括一个1919年的信封，爱因斯坦在上面记下了未确认的计算。“这是第一次世界大战结束后的一年，纸张严重短缺。在纸张回收被发明之前，人们再利用了所有的纸张”，她说。

LaTeX革命

Preskill和其他加州理工学院的研究人员回忆起这项发明，这项发明最终减轻了研究人员更换打字机球的负担。从1970年代后期开始，唐纳德·高德纳（Donald Knuth，1963年博士）开发了一种名为TeX的排版语言，使研究人员能够更轻松地打出数学符号。莱斯利·兰波特（Leslie Lamport）是一名计算机科学家，当时在加利福尼亚州门洛帕克的SRI国际公司工作，他让TeX更进一步，创建了一个名为LaTeX的文档准备系统，该系统使用TeX的语言。例如，要在文档中键入符号π，研究人员会将命令“$pi$”写入LaTeX程序。

“LaTeX改变了我们彼此交流的方式，”理论物理教授Xie Chen（谢晨）说，她和许多其他科学家一样，在撰写技术论文甚至给同事的电子邮件时使用TeX语言来表示数学符号。她说，有时，他们甚至懒得把代码翻译回数学符号，因为这些代码在他们的脑海中根深蒂固。

智能手机也改变了科学家交流数学的方式。很容易拍摄图片并将公式的照片发送给彼此。虚拟白板也变得越来越流行，John D. MacArthur（约翰·麦克阿瑟）理论物理和数学教授Sergei Gukov（谢尔盖·古科夫）说。Gukov和许多其他研究人员在新冠大流行期间参加了在线数学社区，使他们能够在类似教室的环境中虚拟地相互联系，并解决各种数学和科学问题。这些社区由美国国家科学基金会资助的美国数学研究所（AIM）开发，该研究所将于2023年将其总部迁至加州理工学院。“虚拟白板是这些在线社区的关键，感觉非常像真正的黑板，”Gukov说。

视频会议的日益普及为数学家们彼此交流增加了另一个工具，Preskill说：“有时在Zoom上，你只需在纸上写一个方程式，然后把它举到相机前。

模拟之美

即使随着新的通信工具的出现，一些研究人员也更喜欢老派。Sherman Fairchild（谢尔曼·费尔柴尔德）博士后理论物理学研究助理Monica Jinwoo Kang（莫妮卡·金宇·康）说，她喜欢在黑板上写方程。“黑板这么大，这有助于我更清楚地思考，”她说。她甚至还有一个最喜欢的粉笔：一个叫羽衣（Hagoromo）的韩国品牌。

“其他粉笔和羽衣之间的区别是惊人的：抓力，手感和有效性，”她说。粉笔有点厚，握持感人，同时防止黑板上出现任何刮擦声。此外，粉笔毫不费力地书写，无需施加太大的压力，也不会弄得一团糟。

马蒂尔德·马可利（Matilde Marcolli）是罗伯特·克里斯蒂（Robert F. Christy）数学计算和数学科学教授，她喜欢通过在她的方程上绘画来创作彩色水彩画。她说，创作过程有助于她专注于数学研究。“从某种意义上说，这是一种冥想，你正在看你刚刚写的计算并思考它们;绘画的过程有助于在头脑中形成联系。这就像一种联觉形式（synesthesia），数学思想带有附加的颜色和形状。

数学家马蒂尔德·马可利的水彩画，以她写的方程为特色。

图片提供：马蒂尔德·马可利

里奇·阿博特（Rich Abbott）是激光干涉仪引力波天文台（LIGO）的工程师，他对手写方程也有类似的亲和力，他总是在官方工程文件上手写方程。“看到方程式写出来真是太好了，”他说。“他们更人性化，更引人注目。你想了解他们。

新词典

数学也可以用文字交流。当阿基米德向他的同龄人解释他如何计算圆周率的值时，他没有引入一种数学符号的语言。相反，他使用图片和文字。“我很难理解阿基米德是如何做到这一点的，”Hutchcroft（哈奇克罗夫特）说。“对你认为事情如何运作有个人的理解是一回事，但向人们解释你的想法是另一回事。

今天，文字仍然是数学研究的关键部分。经济学和数学教授奥马尔·塔穆兹（Omer Tamuz）对人们发明的用于解释数学的单词很感兴趣。

“数学不仅仅是方程式，”他说。“'x=0'，可以写成'x消失'。数以千计的单词被发明来表示数学中的对象或函数。有时，发明的单词很聪明，可以帮助你记住含义。

想想“matroid”（拟阵）这个词，塔穆兹说。拟阵（matroid）类似于称为矩阵（matrix）的数学对象，并将向量和图形等不同概念联系在一起。“有人编造了这个愚蠢的词，但它很有用，因为你记得它，它是有道理的，”他说。“pointless topology”（无点拓扑）是塔穆兹喜欢的另一个数学术语，因为它是个好的“文字游戏”。他说，无点拓扑是指一种思考没有点的几何物体的性质的方式，并补充道，他认为将发明的一个数学概念标记为“pointless”（无意义，该单词的另一含义）是幽默的。

数学的含义是什么？

如果数学可以用文字表达，这对数学的真正本质有什么影响？数学符号仅仅是人类用来表达抽象思想的发明，还是独立于我们而存在的宇宙基本语言的一部分？

Christopher Hitchcock（克里斯托弗·希区柯克），是J.O.和 Juliette Koepfli（朱丽叶·科普夫利）哲学教授，说在数学和数字的含义方面，有两个主要阵营。第一组遵循古希腊哲学家柏拉图提出的想法，柏拉图认为数学对象是真实的，并且拥有超越我们自己的身份。

“柏拉图认为，即使我们不存在，数学真理也是正确的，”希区柯克解释说。“想想几何学中的一条线，它是无限直的，非常薄的。它不是一个物理对象：在我们的世界中没有任何东西是这样的。但它仍然独立于我们而存在。另一种思考方式是问：如果森林里有奇数的树木，没有人在那里数它们，那么这个数字仍然是奇数吗？柏拉图会说是的。

许多科学家同意柏拉图的观点。特别是物理学家经常将数学描述为自然的语言。已故诺贝尔奖获得者费曼在加州理工学院教授物理学近四十年，直到1988年去世，他在1964年在康奈尔大学的一次演讲中说：“对于那些不懂数学的人来说，很难对自然界的美丽，最深层次的美丽产生真正的感觉。...如果你想了解自然，欣赏自然，就有必要理解她所说的语言。

但正如希区柯克所解释的那样，其他哲学家认为数学只是科学的发明工具，而不是我们现实的固有部分。纽约大学的 Hartry Field（哈特里·菲尔德）甚至在没有引用数字的情况下重新表述牛顿力学。菲尔德认为数学描述的结构是虚构的，而不是字面上的真实。为了理解这一观点，希区柯克举了一张桌子上三个盘子的例子。他说，有可能在不使用数字3的情况下描述这些盘子。你可以描述每个板块并指出它们彼此不同。以类似的方式，你可以说每个盘子有六片饼干。你可以使用乘法来计算总共有18片饼干，但你也可以在不使用数字18的情况下推导一个描述句子。他说，像这样的练习旨在说明数学只是一种工具。

“你可以使用逻辑推理来解释没有数字的事情，”希区柯克说。“但随着数字越来越高，这变得越来越困难。这些数字使计算变得更加简单。希区柯克本人也相信柏拉图式的数字观。他说，它们是真实的，但“以自己独特的方式”。

数字和数学是否是真实的可能仍然是一个悬而未决的问题，但有一点是明确的：在纸张，数码平板上涂鸦并用LaTeX编码的数学著作继续阐明我们世界的奇迹。Fred and Nancy Morris（弗雷德和南希·莫里斯）生物物理学、生物学和物理学教授罗伯·菲利普斯（Rob Phillips）在《加州理工学院2021年夏季》杂志的一篇文章中回忆说，他的一位研究生院老师的门上有一块黑板，他曾经告诉他，如果他有什么话要说，他应该用方程式写下来。“我们在实验室里说的语言不是英语，而是数学，”菲利普斯说。

审核编辑：刘清