一文带你们了解什么是CORDIC算法

CORDIC算法简介

在信号处理领域，CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer，坐标旋转数字计算机）算法具有重大工程意义。CORDIC算法由Vloder于1959年在设计美国航空导航控制系统时提出，主要用于解决导航系统中三角函数、反三角函数和开方等运算的实时计算问题。

1971年，Walther将圆周系统、线性系统和双曲线系统统一到一个CORDIC迭代方程里，从而额提出了一种统一的CORDIC算法形式。

CORDIC算法的核心是利用加法和移位的迭代操作去替代复杂的运算，从而非常有利于硬件实现。CORDIC算法应用广泛，如离散傅里叶变换（DFT）、离散余弦变换（DCT）、离散Hartley变换、Chirp-Z变换、各种滤波以及矩阵中的奇异值分解。

在工程领域，可采用CORDIC算法实现直接数字频率合成器（DDS）、计算I/Q信号的幅度和相位。

01CORDIC基本原理

我们假设在笛卡尔坐标系（也就是我们常见的XY直角坐标系）中，将点（x1，y1）旋转θ角度到点（x2，y2）的标准方法如下所示：

根据上图，我们利用高中学习的三角函数、圆方程和极坐标等中学知识，可以得到：

这被称为是平面旋转、向量旋转或者线性 （ 矩阵） 代数中的 Givens 旋转。

上面的式子，我们将大学二年级学习的线性代数知识拿出来，用矩阵的形式来表示，于是得到：

例如，我们做一个90°的相移，即θ=90：

这里注意cos和sin函数在直角坐标系下的物理意义，于是我们得到下面的图示。

上面的第一个式子，我们假设提出一个公因子cosθ，那么我们可以得到：

如果去除项，我们得到 伪旋转 方程式 ：

即旋转的角度是正确的，但是x 与 y 的值增加cos-1θ 倍 （ 由于cos-1θ》 1），所以模值变大。

注意我们并不能通过适当的数学方法去除cosθ 项 ， 然而随后我们发现去除项可以简化坐标平面旋转的计算操作。

怎么说呢？

在XY坐标系中，结合上面的伪旋转公式，我们可以用下图表示：

于是，我们得出以下结论：

经过伪旋转之后，向量 R 的模值将增加1/cosθ 倍。

向量旋转了正确的角度 ， 但模值出现错误。

经过伪旋转后， 输出进行适当的幅度伸缩（1/cosθ），是不是就可以得到旋转后的坐标了。

02CORDIC方法

CORDIC 方法的核心是 （ 伪） 旋转角θ，其中，

这个等式是怎么推导出来的呢？

所以方程为：

下面的表格指出用于 CORDIC 算法中每个迭代 （i） 的旋转角度 （精确到 9位小数）：

note：由于i是整数，所以对应的角度值都是一一确定的，只能通过几个角度的加减组合来达到你所想要的角度值。

注意有三个方面的变化：

角度累加（减）

坐标值累加（减）

向量的模（也就是长度的，相对于横纵坐标的）累加（减）

这三个累加的变化时不一样的，注意区别，角度的累加和长度的累加有一定的对应关系。

03角度累加器

上述三个方程式为圆周坐标系中用于角度旋转的 CORDIC 算法的表达式。后续部分中我们还将看到CORDIC 算法被用于其它的坐标系，通过使用这些坐标系可以执行更大范围的函数计算。

04移位-加法算法

因此， 原始的算法现在已经被减化为使用向量的伪旋转来表示的迭代移位-相加算法 ：

因此，每个迭代需要：

note：前面提到的去除 cos 项的原因是显而易见的。当将该项去除时，转换公式已经被简化为伪旋转的迭代移位相加计算。

CORDIC 硬件实现结构：

05伸缩因子

前面提到，为了得到伪旋转公式，我们把公因子cosθ忽略了，但在实际运算中，不能就这样简单粗暴抛弃。

我们再次对cosθ进行变形：

于是，我们可以得到：

如果我们已知了将被执行的迭代次数，我们便可以预先计算出 1/Kn 的值，并通过将 1/Kn 与 x（n） 和 y（n）相乘来校正x（n） 和 y（n） 的最终值。

CORDIC有两种工作模式：旋转模式和向量模式。

06三种坐标系下的CORDIC

然而， 我们将会看到，通过考虑其它坐标系中的旋转， 我们可以直接计算更多的函数， 如乘法和除法， 进而间接计算更多的其它函数。

使用其它坐标系的 CORDIC 算法的优点是可以计算更多的函数， 而缺点则是系统将变得更加复杂。当把CORDIC 算法用于线性或双曲坐标系时， 在圆周坐标系中的旋转角度集将不再有效。所以， 这些系统应使用其它的两种旋转角度集。

我们会发现，可以推导出可在 3 个坐标系中表示 CORDIC 方程的通用公式。这意味着在方程式中引入两个新变量。其中一个新变量 （e（i）） 代表了适当的坐标系中用于表示旋转的角度集。

当把CORDIC算法用于双曲线旋转时，伸缩因子K与圆周旋转的因子有所不同。

我们通过引入一个新变量μ，得到CORDIC的通用方程：

至此，三个坐标系下的CORDIC方程得到大一统。

在使用FPGA进行CORDIC算法实现时，理想CORDIC 架构取决于具体应用中速率与面积的权衡。

可以将 CORDIC 方程直接翻译成迭代型的位并行设计，然而：

位并行变量移位器不能很好地映射到 FPGA 中

需要若干个 FPGA 单元。导致设计规模变大而设计时间变长

参考文献

关于 CORDIC 算法的基础以及细节问题，可参见下面的材料 ：

［1］ R. Andraka. A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers. www.andraka.com/cordic.htm

［2］ The CORDIC Algorithms. www.ee.byu.edu/ee/class/ee621/Lectures/L22.PDF

［3］ CORDIC Tutorial. http://my.execpc.com/~geezer/embed/cordic.htm

［4］ M. J. Irwin. Computer Arithmetic. http://www.cse.psu.edu/~cg575/lectures/cse575-cordic.pdf

编辑：jq