一文了解堆的性质和证明

这里说的堆（heap）是一种 nearly complete binary tree：除了最低的一层外，其它层填充满了结点，并且最底层的结点是从左到右填充的。

这里假定root结点的索引从1 开始。

它有如下的性质：

1. 对于一个包含 n个元素的heap， 它的高度为 floor（lg n）

证明： 用 h表示这个heap的高度。则有：

2^h 《= n 《= 2^（h+1） -1 《 2^（h+1）

对上面取对数：

h 《 = lgn 《 h + 1

考虑到 h为整数， h只能是 floor（lg n）。

2. 对于以数组形式存储的 n个元素的heap， 叶子结点的索引为 floor（n/2）+1， floor（n/2）+2， 。。.， n

证明： 假定叶子结点索引为 floor（n/2）， 那么， 2 * floor（n/2） 《 n， 表示这个叶子节点存在子结点。。，也就是它不是叶子结点。

2 * （floor（n/2）+1） =2 * floor（n/2） + 2 》 n， 不存在子节点，所以，索引为 floor（n/2）+1的结点是叶子结点。

3. n个元素的heap， 它的叶子结点的个数为 ceiling［n/2］

证明： 根据 2可以得出这个结论。

4. 对于 n个元素的heap， 最多有ceiling（n/2^（h+1））个高度为h的结点

证明 i： 用归纳法。

当 h = 0时的结点为叶子结点，根据3， 个数为 ceiling（n/2） = ceiling（n/2^（h+1）（当 h = 0）。

所以， h =0时成立。

假定 h-1时成立，那么此时高度 h-1的结点个数为 ceiling（n/2^（h-1））。

那么， 考虑去掉所有叶子结点的heap T‘。它的节点数为 n - ceiling［n/2］ = floor（n/2）。

在原来堆中高度为 h的结点在 T’中对应的高度为 h-1.

那么在原来堆中高度h的结点的个数等于 T‘中高度为 h-1的个数：

ceiling（ floor（n/2）/2^（h-1）） 《= ceiling（（n/2）/2^（h-1）） = ceiling（n/2^h）。

证明 ii：

假定结点 i高度为 h，那么， i， i*2， i*4， 。。.， i*2^h 为 i的最长路径，并且 i*2^（h+1） 》 n.

于是有，

i*2^h 《= n 《 i * 2^（h+1）

i 》 n/2^（h+1）， i 《 2 * （n/2^（h+1））

所以， i的取值为， ceiling（n/2^（h+1））， ceiling（n/2^（h+1）） + 1， 。。.， ceiling（n/2^（h+1）） + ceiling（n/2^（h+1）） - 1

共有 ceiling（n/2^（h+1）） 个。