FPGA浮点数表示及计算机数值表示规则

定点数硬件实现简单，但表示的范围有限，且部分的小数运算IP核只支持浮点数运算，因此这里还需要提到浮点数的相关内容。

通过介绍FPGA浮点数的表示方法和用法，进而讲述计算机浮点数的表示规则，这部分涉及数电，微机原理的基础知识。

浮点数需要提到IEEE754标准，计算机的浮点数表示依照这个标准，以IEEE754的单精度浮点数为例。

IEEE754单精度浮点数为32位，分为符号位，8位的指数部分，23位的尾数部分；

以十进制下的12.5为例，首先12.5非负，所以符号位为0；

12.5转换为二进制，1100.1，将其科学计数法化（正规化），变成了

可知道此时2的指数为3，加上预设的偏移值127，得到了130，即1000 0010；这就是指数部分。

（1.1001）去掉整数得到尾数1001，剩余尾数补0，这就是尾数部分。

所以最终的IEEE754单精度值为 0 1000 0010 1001 0000 0000 0000 0000 000

整合为16进制，为41 48 00 00 。

再以-0.375为例，符号位为1；

0.375转换为二进制，0.011，科学计数法化（正规化），

可知2的指数位-2，加上127为125，即0111 1101；

（1.1）去掉整数得到尾数1，剩余尾数补0

最终为1 0111 1101 1000 0000 0000 0000 0000 000

整合为16进制，为BE C0 00 00。

反过来，通过浮点数的16进制表示，推出相应的10进制数，公式如下：

s是符号位，决定数据的正负，fration是最后的23位对应的10进制小数，exponent是8位的指数部分，bias是预设的偏移值，32位中为127；

当然，这样的计算方法没有办法表示0，所以做了特殊规定，当exponent为0时，相应的公式变成了这个样子：

当fration也为0时，就表示出0了。当exponent为最大值，fration为0，表示正/负无穷大；fration不为0会报NaN，不是一个数。

浮点数加法：

以正数相加为例, 0.3 + 0.7 = ?

• 0.3 -> 3E 99 99 99
• 0.7 -> 3F 33 33 33

可以知道，0.3的exponent为125，0.7的exponent为126；两者的exponent不一致，需要进行移位操作保持一致。这里移位的原则是小exponent向大exponent保持一致。所以0.3需要向右移动一位，保持exponent一致；

即(1) 0011 0011 0011 0011 0011 001 -> (0) 1001 1001 1001 1001 1001 100

然后进行两者尾数相加，这部分跟定点数加法规则一致。

得到结果3f 7f ff ff，转换为10进制为0.9999999403953552；也就是说在计算机浮点数操作过程中，0.3+0.7不等于1，这也就是为什么编程里面浮点数不推荐直接做比较的原因，由于浮点数精度的原因，浮点数做比较更推荐使用与预设值做减法取绝对值，如果差值在一个很小的范围内，则认为相等。

如果是正负相加，负数需要取补码进行相加操作，并扩展符号位，观察结果的正负性；如果结果的整数部分大于1，要进行科学计数法化（正规化）。

浮点数乘法：

1. 尾数相乘，得到结果，以12.5和-0.375为例，相关的浮点数表示在介绍IEEE754环节已给出；

12.5 ->41 48 00 00 ; -0.375 -> BE C0 00 00

2. 计算两者的exponent差值，得到结果1；将1中的结果科学计数法化（正规化），得到最终的exponent为127+1+1=129；
3. 将两者的符号位做异或计算，得到结果1，所以最终结果的符号位为1；最终结果为C0 96 00 00，转换为10进制就是-4.6875 。

相对比而言，浮点数能够表示更宽的数据范围，但计算过程可能较为复杂，但是明白它的表示规则之后，将定点小数转换成浮点数也并不难，这样就可以用到浮点运算的IP核了。

经过各种处理之后的数据，为了平衡数据精度和资源占用，又需要使用到数据截位。