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一、RSA算法
首先， 找出三个数， p， q， r，
其中 p， q 是两个相异的质数， r 是与 （p-1）（q-1） 互质的数
p， q， r 这三个数便是 private key
接著， 找出 m， 使得 rm == 1 mod （p-1）（q-1）
这个 m 一定存在， 因为 r 与 （p-1）（q-1） 互质， 用辗转相除法就可以得到了
再来， 计算 n = pq
m， n 这两个数便是 public key
编码过程是， 若资料为 a， 将其看成是一个大整数， 假设 a 《 n
如果 a 》= n 的话， 就将 a 表成 s 进位 （s 《= n， 通常取 s = 2^t），
则每一位数均小於 n， 然後分段编码
接下来， 计算 b == a^m mod n， （0 《= b 《 n），
b 就是编码後的资料
解码的过程是， 计算 c == b^r mod pq （0 《= c 《 pq），
於是乎， 解码完毕 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 ：）
如果第三者进行窃听时， 他会得到几个数： m， n（=pq）， b
他如果要解码的话， 必须想办法得到 r
所以， 他必须先对 n 作质因数分解
要防止他分解， 最有效的方法是找两个非常的大质数 p， q，
使第三者作因数分解时发生困难
《定理》
若 p， q 是相异质数， rm == 1 mod （p-1）（q-1），
a 是任意一个正整数， b == a^m mod pq， c == b^r mod pq，
则 c == a mod pq
证明的过程， 会用到费马小定理， 叙述如下：
m 是任一质数， n 是任一整数， 则 n^m == n mod m
（换另一句话说， 如果 n 和 m 互质， 则 n^（m-1） == 1 mod m）
运用一些基本的群论的知识， 就可以很容易地证出费马小定理的
《证明》
因为 rm == 1 mod （p-1）（q-1）， 所以 rm = k（p-1）（q-1） + 1， 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
（x == y mod z and u == v mod z =》 xu == yv mod z），
所以， c == b^r == （a^m）^r == a^（rm） == a^（k（p-1）（q-1）+1） mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍数， 也不是 q 的倍数时，
则 a^（p-1） == 1 mod p （费马小定理） =》 a^（k（p-1）（q-1）） == 1 mod p
a^（q-1） == 1 mod q （费马小定理） =》 a^（k（p-1）（q-1）） == 1 mod q
所以 p， q 均能整除 a^（k（p-1）（q-1）） - 1 =》 pq | a^（k（p-1）（q-1）） - 1
即 a^（k（p-1）（q-1）） == 1 mod pq
=》 c == a^（k（p-1）（q-1）+1） == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍数， 但不是 q 的倍数时，
则 a^（q-1） == 1 mod q （费马小定理）
=》 a^（k（p-1）（q-1）） == 1 mod q
=》 c == a^（k（p-1）（q-1）+1） == a mod q
=》 q | c - a
因 p | a
=》 c == a^（k（p-1）（q-1）+1） == 0 mod p
=》 p | c - a
所以， pq | c - a =》 c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍数， 但不是 p 的倍数时， 证明同上
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时，
则 pq | a
=》 c == a^（k（p-1）（q-1）+1） == 0 mod pq
=》 pq | c - a
=》 c == a mod pq
首先是密钥对的生成：
（1）选取两个大素数p和q（目前两个数的长度都接近512bit是安全的）
（2）计算乘积n=p*q，Φ（n）=（p-1）（q-1），其中Φ（n）为n的欧拉函数（因为两素数乘积的欧拉函数等于两数分别减一后的乘积）
（3）随机选取整数e（1《e《Φ（n））作为公钥d，要求满足e与Φ（n）的最大公约数为1，即两者互素
（4）用Euclid扩展算法计算私钥d，已满足d * e ≡ 1 （mod Φ（n）），即d ≡ e^（-1） （mod Φ（n））。则e与n是公钥，d是私钥
注意：e与n应公开，两个素数p和q不再需要，可销毁，但绝不可泄露。
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