基于线性时不变系统的热耦合模型

随着摩尔定律放缓，芯片性能提升转向多核集成与3D堆叠，导致功耗密度激增且多热源间产生强热耦合。此外，异构集成技术的普及（如CPU、GPU、NPU封装在同一芯片内）使得不同功能模块的发热特性差异巨大，进一步加剧了热场的非均匀性。因此，多热源热模型成为连接芯片设计与系统散热的桥梁，是实现热感知布局优化和动态功耗分配的关键工具，直接决定了高性能芯片的可靠性上限。

一般认为，热系统是分布式的线性R-C 系统，当给这类系统施加激励时，任何激励下的响应都可以通过计算卷积积分获得。如式1所示，对于线性时不变系统，单位功率阶跃输入下的温升曲线称为热阻抗函数Zth(t)。若实际功耗为P(t)时，则系统温升的变化可以利用Zth(t)对时间t的导数和功耗曲线P(t)的卷积积分来表示。

公式

卷积积分可以用更简短的形式表示，使用以下符号：

公式

1.什么是线性时不变系统？

在热分析领域，线性时不变系统通常具备两个核心数学特征：

线性：满足叠加定理。即系统对多个输入的总响应等于各个输入单独作用时产生的响应之和。例如热源A单独工作时导致某点温升△TA，热源B单独工作时导致该点温升△TB，那么A和B同时工作时，该点的总温升△T总=△TA+△TB。

时不变：系统的特性（如热导率、比热容）不随时间变化。无论你在什么时候给系统施加一个单位阶跃功率，系统产生的温升响应曲线都是一模一样的。

在热分析中，如果将一个热系统视为线性时不变系统，就意味着温度响应与输入功率呈线性关系，且热阻和热容参数不随温度和时间变化。这也是RC热网络模型（无论是Cauer模型还是Foster模型）能够成立的理论基础。

2.热耦合在线性时不变系统中的数学描述

热耦合指的是多热源系统中，一个热源的发热不仅影响自身的温度，也会影响其他点的温度。在线性时不变框架下，这种耦合关系可以用热阻抗矩阵或多端口网络来精确描述。

2.1热阻抗矩阵

对于一个有n个热源（或关注点）的系统，我们可以定义一个n×n的热阻抗矩阵：

其中：

对角线元素Zii(t)：自热阻抗（Driving PointZth）。表示在点i施加单位阶跃功率时，点i自身的温升响应。这对应于单热源的情况。

非对角线元素Zij(t)(i ≠ j)：耦合热阻抗或传递热阻抗（Transfer PointZth）。表示在点j施加单位阶跃功率时，对点i造成的温升响应。这正是热耦合的数学体现。

2.2线性叠加定理的应用

由于系统是线性的，总温升等于各热源单独作用时产生的温升的线性叠加。

例如，热源1的总温度T1(t）可以表示为：

公式

这正是热耦合在数学上的精确表达。Ż₁₂ ⊗ P₂这一项就是热源2对热源1的热干涉。

2.3时不变性的体现

这里时不变性体现在，无论何时施加功率Pj(t)，对应的耦合热阻抗Zij(t)都是相同的函数形式。这意味着系统的热路径（材料属性、几何结构）是稳定的，不随时间或温度变化。

3.热耦合模型的物理意义与获取方法

3.1物理意义

Zij(t)的初始阶段 (t→0）：由于热量传播需要时间，两个有一定距离的点在初始时刻的耦合阻抗通常为零。

Zij(t)的稳态阶段 (t→∞)：它趋近于一个常数，即两点之间的耦合热阻RijoRij的值取决于两个热源之间导热路径的几何结构和材料特性。距离越近、中间材料导热性越好，Rij值越小，耦合越强。

3.2获取方法

在应用实践中，热耦合阻抗可以通过以下方法获得：

测量：

使用鲁欧的赤霄瞬态热测试仪等设备。

例如，要提取Z12(t)，可以只在热源2 施加阶跃功率 P2，同时用温敏参数测量热源1 处的温度响应△T1(t)。那么Z12(t)=△T1(t)/P2（阶跃响应形式）。

对所有热源组合重复此过程，即可构建整个热阻抗矩阵。

仿真：

使用CAE仿真软件。

在软件中建立详细的三维模型。

通过设置不同的热源组合进行仿真，提取对应的温度响应，进而得到热阻抗矩阵。

4.线性时不变假设的优势

基于线性时不变系统的热耦合解析具有巨大的工程应用价值：

预测能力：一旦通过测量或仿真获得了热阻抗矩阵，就可以预测任何复杂功率模式下的温度响应，而无需进行新的复杂多热源瞬态测试或瞬态仿真。只需将功率序列与对应的阻抗函数进行卷积并叠加即可。

模型降阶：热阻抗矩阵可以转化为紧凑的热网络模型（如Foster 模型或 Cauer 模型），用于系统级仿真，而无需携带庞大的三维有限元模型。

解耦分析：可以清晰地分析某个热源的变化对整个系统温度分布的影响。

5.热耦合基于线性时不变的局限性与挑战

虽然线性时不变框架下的热耦合解析具有诸多优势，但它基于一些理想化假设，在实际应用中需要留意以下几点，

材料非线性的挑战：大多数材料的热导率λ 和比热容 c实际上是随温度变化的。例如，硅的热导率在高温下会显著下降。这意味着系统的“特性”会随工作点变化，严格来说不再是时不变的。例如，在高温下测得的 Z12(t)与低温下测得的会略有不同。线性时不变模型无法捕捉这种由于温度变化导致的耦合强度变化。

边界条件的非线性：对流和辐射散热系数通常与温度差强相关（辐射甚至与温度的四次方成正比）。这也会导致系统参数发生变化。

热干涉的非线性增强：例如有些材料的热导率会随温度升高而降低，当两个热源同时工作时，中间区域的温度更高、热导率会变更低，导致实际的耦合热阻Rij会比线性叠加预测的值更大。因此，实际的最高温度可能高于线性时不变模型的预测值。

6.总结

本文介绍了基于线性时不变系统的热耦解析的理论基础，使用热阻抗矩阵和叠加定理，将复杂的多热源相互影响精确地量化为自热阻抗和耦合热阻抗的热矩阵模型。这是现代热管理分析和紧凑模型的理论基础。一旦模型建立，即可高效预测任意功率模式下的热行为。然而，其准确性受限于材料参数的温度依赖性和边界条件的非线性等影响。在高功率密度场景下，非线性效应增强，会导致结温预测误差的增大。但是在工程应用层面，在一定的容许误差范围内，基于此方法的多热源热分析有着比较难以替代的便捷性和高生产性，具有很高的实用价值。

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审核编辑 黄宇