精度、收敛性和网格质量

“令人尴尬的是，我们对网格如何影响CFD解决方案知之甚少，”不列颠哥伦比亚大学的Carl Ollivier-Gooch教授说。

这种说法与我们在实践中都知道的是正确的相反，即一个好的网格有助于计算流体动力学（CFD）求解器收敛到正确答案，同时最大限度地减少计算机资源消耗。换句话说，大多数像样的求解器都会在好的网格上产生准确的答案，但是需要最强大的求解器才能在坏网格上得到任何答案。

问题的症结在于“一个好的网格”到底是什么意思。雪城大学的John Dannenhoffer教授指出，我们更擅长识别坏的网格，而不是判断一个好的网格。区分好与坏被这样一个事实所掩盖，即坏是网格是否会运行的黑白决定。 （坏通常只意味着是否有任何负体积单元格。另一方面，善良是灰色的阴影——有好的网格，也有更好的网格。

善良也不是关于网格的全部。人们可以盯着网格并做出好/坏判断的日子已经一去不复返了。通过目视检查密度等值线图中的冲击波薄多少来证明自适应网格的合理性并不能确定等级。重要的是CFD解决方案如何准确地反映现实。因此，在网格评估中还必须考虑求解器的数值算法和要计算的流动的物理场。

上面几段中隐含着在计算 CFD 解决方案之前判断网格质量的想法。有些人认为先验网格质量评估的价值有限，并且根据开发中的流动解决方案（通过网格适应或伴随方法或其他技术）改变网格是生成良好网格和准确解决方案的更好方法。

网格质量研讨会

鉴于这种情况，召集网格生成研究人员和从业人员来评估网格质量主题非常重要。Pointwise去年夏天参加了在代顿举行的“网格质量/分辨率，实践，当前研究和未来方向研讨会”，由国防部高性能计算现代化计划（HPCMO）主办，由PETTT计划（用户生产力，增强，技术转让和培训）和AIAA的MVCE技术委员会（网格划分，可视化和计算环境）组织。

研讨会汇集了网格质量的所有利益相关者：CFD从业人员，CFD研究人员，CFD求解器代码开发人员（商业和政府）以及网格生成软件开发人员。本文末尾包含研讨会演讲列表（参考文献1a-1i）。来自High Performance Technologies的Hugh Thornburg写了一篇研讨会的概述（参考文献2），很好地总结了当前的现状：

“网格作为中间产品没有固有的要求，只需要足以促进对所需结果的预测。”我将此解释为网格“不错”的双重否定质量判断。

“网格必须以离散的方式捕获感兴趣的系统/问题，并提供足够的细节，以便能够执行所需的仿真。只要“期望的模拟”隐含地包括“达到所需的精度水平”，这是一个很好的定义。

Thornburg 还承认网格生成存在许多实际限制，例如分配给网格划分的时间、参数研究的拓扑问题、计算资源对网格大小的限制以及求解器的特定要求。

Thornburg 还提供了辛普森判决库（参考文献 3）作为事实上的参考，涵盖了计算元素属性的“大多数（如果不是全部）常用技术”。

用户视角

NASA的斯蒂芬·阿尔特（Stephen Alter）举例说明了网格质量先验指标的重要性，他定义并展示了他的GQ（网格质量）指标的实用性，该指标将正交性和拉伸性组合成一个数字。在确保使用薄层 Navier-Stokes 求解器计算的钝体上超音速流动求解精度的愿望的驱使下，他为 GQ 指标建立了标准，让他在开始 CFD 求解之前充满信心。

GQ有两个方面值得注意。首先，该度量对正交性的依赖与求解器的数值紧密耦合 – 当网格缺乏正交性时，TLNS 假设就会崩溃。其次，使用全局指标有助于决策，或者正如Thornburg所写，“局部误差估计几乎没有用处。GQ代表领域专业知识 - 在特定应用领域中使用特定标准。

研究人员的观点

Dannenhoffer报告了一项广泛的基准研究，该研究涉及5度迎角下2度双楔形翼型的3度双楔形翼型的参数变化。网格的变化包括分辨率、纵横比、聚类、倾斜、锥度和摆动（使用 Verdict 定义）。

Dannenhoffer的主要结论非常有趣：网格指标与解决方案准确性之间几乎没有（如果有的话）相关性。他发现很难在不影响另一个指标的情况下改变一个指标（例如，在网格中添加摆动也会影响偏斜），或者可能是由于特定的流动条件，这一事实加剧了这种情况。

Dannenhoffer还引入了网格有效性的概念（与网格质量相反），旨在衡量网格是否符合正在建模的配置（在实践中有时不符合）。他提出了三种类型的有效性检查：

类型 1 检查细胞是否具有正体积和不相交的面。这里又是“这个网格不好吗？”问题的一个例子。

类型 2 检查内部单元面是否与另一个内部面唯一匹配，以及边界单元面是否位于要网格划分的对象的几何模型上。

类型 3 检查几何模型的每个表面是否完全被边界单元面覆盖，几何的每个硬边是否被边界单元面的边覆盖，以及边界面区域的总和是否与实际几何表面面积匹配。

图 1：从单元几何角度（右）看，不良网格如何比具有“完美”单元（左）的网格产生更低的离散化误差的简单演示。来自参考文献1c。

弗吉尼亚理工大学的Christopher Roy教授展示了一个违反直觉的例子（至少从先验度量的角度来看），即2D Burger方程在自适应网格上的解（具有广泛变化的偏斜，纵横比和其他度量的单元格）比在完美正方形网格上的解具有更少的离散化误差。仅从此示例来看，很明显，仅基于像元几何形状的指标不是网格质量的良好指标，因为它与求解精度有关。

求解者的观点

研讨会有幸有几位流求解器开发人员参与，他们分享了网格质量如何影响其求解器的详细信息。两者的共同点是，收敛性和稳定性更直接地受到网格质量的影响，而不是求解精度。

差价合约++

Metacomp Technologies的Vinit Gupta将细胞偏度和细胞大小变化列为结构化网格需要注意的两个质量问题。特别是，在梯度较低的远场中跨块边界的网格细化对收敛有很强的负面影响。对于非结构化和混合网格，边界层中的各向异性 tet 以及边界层外从棱柱到透镜的过渡也可能是有问题的。

古普塔还指出了与度量计算相关的两个问题。依赖于将细胞分解为TET的细胞体积计算并不是唯一的，并且取决于分解方式。因此，一个程序报告的量（或依赖于量的任何度量值）可能与另一个程序报告的量不同。同样，除三角形以外的任何事物的面正常计算都不是唯一的，并且也可能因程序而异。（这是我们在 Pointwise 经常遇到的场景，当求解器供应商就单元格的体积存在分歧时，结果证明这是不同计算方法的结果。

流利和CFX

ANSYS的Konstantine Kourbatski展示了不同于完美的细胞形状（面法线矢量的点积，矢量连接相邻细胞中心）如何使方程组更僵硬，减缓收敛。然后，他介绍了度量、正交质量和两个偏度定义，以及 Fluent 求解器的经验法则。有趣的是，正交度量的范围从 0（坏）到 1（好），而偏度度量则正好相反：0 表示好，1 表示坏。度量标准的另一个示例是，在批量流中，纵横比应保持在 5 以下。Kourbatski还为CFX求解器提供了指南。

他还指出，关键流动特征（例如剪切层、冲击波）的分辨率对于准确求解至关重要，良性流动区域中的坏细胞通常不会对求解产生显著影响。

茶隼

来自CREATE-AV计划的CFD求解器Kestrel由阿拉巴马大学伯明翰分校的David McDaniel代表。首先，他发表了两个重要声明。首先，他们的目标是“很好地使用提供给我们的网格”。（这类似于 Pointwise 处理 CAD 几何的方法 - 对提供的几何图形做到最好。其次，他指出，根据传统的网格指标，混合元素非结构化网格（它们的主要类型）很糟糕，尽管已知会产生准确的结果。同样的观察结果也适用于自适应网格和由网格内物体的相对运动（例如襟翼偏转，存储掉落）扭曲的网格。

更重要的是，McDaniel通过回忆Mavriplis在阻力预测研讨会上的论文（参考文献4）注意到求解器离散化和网格几何之间的“可怕”相互依赖性，其中两个极其相似的网格在多个求解器中产生了截然不同的结果。

为了解决网格质量问题，Kestrel的开发人员实现了非维度质量指标，这些指标既是局部的，也是全局的，并且在0总是意味着坏，1总是意味着好的意义上是一致的。对 Kestrel 重要的指标是四面平面度的面积加权度量、与最近固体边界的流动对齐的有趣度量、考虑相邻单元质心的方向和邻近性、平滑度、间距和各向同性的最小二乘梯度。

图 2：使用 Kestrel 可以显示网格和溶液质量之间的相关性。来自参考文献1f。

与Dannenhoffer的结果不同，McDaniel展示了网格质量与求解精度的相关性，但需要注意的是，分辨率良好的网格质量可能很差，但仍能产生良好的答案。（换句话说，点总是越多越好。

星辰-CCM+

Alan Mueller在CD-adapco的STAR-CCM+求解器上的演讲首先指出，网格质量始于CAD几何质量，表现为低质量的表面网格或真实形状的不准确表示。这与Dannenhoffer的网格有效性想法相呼应。

在介绍了他们的质量指标列表后，Mueller做出了以下陈述，“不太完美的网格上的结果与网格上的结果基本相同（阻力和提升），其中花费了大量资源来消除网格中的不良细胞。在这里，我们注意到目标函数是积分量（阻力和升力），而不是像压力曲线这样的分布式数据。毕竟，积分量是我们想要从CFD获得的工程数据类型。

这种对网格质量精度的不敏感性支持了穆勒的立场，即细胞质量差是一个稳定性问题。因此，STAR-CCM+ 的方法是保守的——选择稳健性而不是准确性。具体来说，他们正在寻找将导致求解器中除以零的指标。影响扩散通量和线性化的偏度就是这样一个例子。

梅舍尔的观点

John Steinbrenner 博士和 Nick Wyman 通过采用违反直觉的方法分享了 Pointwise 对独立于解决方案的质量指标的看法。您可能会认为网格生成开发人员会提高先验指标的有效性。但 CFD 解决方案中的误差包括几何误差、离散化误差和建模误差。几何误差类似于Dannenhoffer和Mueller关于正确表示形状的观点。建模误差来自湍流、化学和热物理特性。离散化涉及求解器数值的退化。离散化误差由网格和求解器的数值算法之间的耦合驱动。

图 3：此表总结了逐点可用的网格质量指标。来自参考文献1h。

因此，尽管 Fidelity Pointwise 可以计算和显示许多指标，但重要的是要注意，其中许多指标与求解器的数值缺乏直接关系，因此它们只是求解精度的松散指标。另一方面，这些指标便于计算，可以解决Dannenhoffer的网格有效性问题，并提供启动网格改进技术的机制。它们还构成了用户开发领域专业知识能力的基础，这些指标与其特定应用领域相关。

结论

CFD 求解器开发人员认为，网格质量对收敛的影响远远大于精度。因此，由于收敛性差或不完全收敛而导致的求解误差不容忽视。

一位研究人员能够证明网格质量和求解精度之间完全缺乏相关性。对于其他求解器和流动条件重现此结果将很有价值。

使用尽可能多的网格点（Dannenhoffer，McDaniel）。在许多情况下，分辨率胜过质量。然而，通过使用最少的点数（Thornburg称之为最佳网格）来最小化计算时间的实际问题意味着质量仍然很重要。

先验指标作为运行求解器之前的有效置信度检查，对用户很有价值。这些指标必须考虑像元几何形状，还要考虑求解器的数值算法，这一点很重要。这意味着指标取决于求解器。进一步的含义是实施Dannehoffer的网格有效性检查。

可以计算许多质量指标，但它们的计算通常因程序而异。为指标开发一个通用词汇将有助于可移植性。

解释指标可能很困难，因为它们的实际数值不直观，并且阻碍了领域专业知识的发展。度量词汇表应考虑所需的结果数值范围以及“坏”和“好”的含义。

审核编辑：郭婷