传递函数的概念

控制系统微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。

应用微分方程列写控制系统数学模型的方法比较直观，对于复杂的高阶微分方程，特别适合于计算机编程求解，采用迭代的方法循环计算一定时间后获得输出量波形曲线。缺点是系统结构改变或某个参数改变时，需要重新列写并求解微分方程，才能获得系统的性能指标数据，不方便系统的分析和设计。

用拉氏变换法求解线性系统微分方程时，可以获得控制系统在复数域的数学模型，即传递函数，传递函数可以表征系统的动态性能，并且可以在不求系统输出解的情况下，研究系统的结构或参数变化时系统性能指标，特别适合于不借助于计算机情况下分析和设计控制系统的性能，当然，也可以利用MATLAB进行系统性能分析，由此可见，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。

1.传递函数概念

定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比；

设线性定常系统的n阶微分方程为：

这里，c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai,bj是与系统结构和参数有关常系数；

在零初始条件下，即输入量和输出量及其各阶导数在t=0时的值均为0；对上式两侧分别求取拉氏变换，可获得s的代数方程为：

于是，可求出系统传递函数为:

已知RLC串联无源网络，求电容电压Uo(s)与输入电压Ui(s)之间的传递函数

RLC网络电容电压微分方程为：

在零初始条件下，对上式中各项求拉氏变换，可得到关于s的代数方程，

令Uo(s)=L[Uo(t)],Ui(s)=L[Ui(t)]，则关于s的代数方程为：

根据传递函数的定义，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换比值为：

传递函数示意图如下：