广受欢迎的Weibull 分布永远是最佳选择吗？

本文最初出现在The Minitab Blog

在大学里，我有一个朋友，他无论到哪儿都能融入其中。他中午还在跟一群教授共进午餐，下午就在公园里和嬉皮士踢沙包，晚上又会和当地的摩托车骑手在城里秩序最差的酒吧厮混在一起。第二天，他又和体育爱好者一起打橄榄球，然后和游戏伙伴一起去参加通宵的局域网游戏聚会。在平常的周末，他可能会和校园里一小群积极正派的朋克摇滚乐手参加一场面向各个年龄段的演出，或者和一些城里人饮酒作乐，然后和物理社的朋友一起玩一些 D&D 游戏来结束这个周末。

他就像一只变色龙，跟什么人交往就能投其所好，打成一片。这种灵活性让他在各种各样的社交圈中如鱼得水。

他叫 Jeff Weibull，他非常受欢迎，以至于当地统计人员甚至以他的名字命名“Weibull 分布”。

是什么使得 WEIBULL 分布如此受人欢迎？

好吧，我只是编造了最后一部分，Jeff 的姓实际上并不是“Weibull”，此分布完全是以其他人的名字命名的。 但是，当我第一次了解 Weibull 分布时，我立刻想起了 Jeff，以及他似乎不费吹灰之力就能在形形色色的社交场合中游刃有余的场景。

正如 Jeff 是不同社交圈子中的变色龙一样，Weibull 分布能够呈现许多不同类型分布的特征。这使得它在工程师和质量从业者中极受青睐，他们使该分布成为可靠性数据建模中最常用的分布。他们喜欢将 Weibull 分布纳入其数据分析中，因为它足够灵活，可以对各种数据集进行建模。

获得了右偏斜数据？Weibull 可以对其进行建模。左偏斜数据？当然，使用 Weibull 绝对没问题。对称数据？Weibull 能够胜任。正是因为 Weibull 分布的这种灵活性，工程师才用它来评估所有物品（从真空管、电容器到滚珠轴承和继电器等）的可靠性和材料强度。

Weibull 分布还可以对递减、递增或固定风险函数进行建模，使其能够描述物品寿命的任何阶段。

WEIBULL 曲线如何改变其形状

那么，Weibull 分布到底有多灵活呢？让我们来看一些使用 Minitab Statistical Software 中的图形 > 概率分布图的示例。

在“分布”下拉菜单中依次选择“单一视图”和“Weibull”。该对话框将用于指定三个参数：形状、尺度和阈值。

阈值参数指示分布从 0 偏移的情况，负阈值会将分布从 0 向左偏移，正阈值会将分布向右偏移。所有数据都必须大于阈值。尺度参数是数据的 63.2 百分位数，它定义了 Weibull 曲线与阈值的关系，就像均值定义正态曲线的位置一样。在我们的示例中，我们使用的尺度为 10，即 63.2% 的测试产品将在阈值时间后的前 10 个小时内发生故障。形状参数描述 Weibull 曲线的形状。通过更改形状，可以对许多不同寿命分布的特征进行建模。

在本帖中，我将专门讨论形状参数如何影响 Weibull 曲线。我将逐一介绍这些参数，但是，如果您希望它们同时出现在一张图中，请在上面显示的对话框中选择“不同参数”选项。

形状值小于 1 的 WEIBULL 分布

让我们从 0 到 1 之间的形状开始。下图显示概率从无穷大呈指数递减的情况。就失效率而言，符合此分布的数据的初始失效率极高，随着时间的推移，由于缺陷产品从样本中消除，因此失效率会下降。这些早期失效通常被称为“早期损坏率”，因为它们发生在产品寿命的早期阶段。

形状值等于 1 的 WEIBULL 分布

当形状值等于 1 时，Weibull 分布从 1/alpha 呈指数递减，其中 alpha = 尺度参数。在本质上，这表示失效率随着时间的推移保持一致。Weibull 分布的这种形状适用于随机失效和多原因失效，并可用于对产品的使用寿命进行建模。

形状值介于 1 和 2 之间的 WEIBULL 分布

当形状值介于 1 和 2 之间时，Weibull 分布迅速攀升到峰值，然后随着时间的推移下降。失效率总体上是增加的，最初增加得最快。此形状表示早期磨损失效。

形状值等于 2 的 WEIBULL 分布

当形状值达到 2 时，Weibull 分布对线性增加的失效率进行建模，在产品的使用寿命内，磨损失效风险随着时间的推移不断增加。这种形式的 Weibull 分布也称为 Rayleigh 分布。

形状值介于 3 和 4 之间的 WEIBULL 分布

如果我们将形状值放在 3 和 4 之间，Weibull 分布就会变为对称的钟形，就像正态曲线一样。这种形式的 Weibull 分布对产品寿命的最后阶段（大多数失效发生在这一阶段）中的快速磨损失效进行建模。

形状值大于 10 的 WEIBULL 分布

当形状值大于 10 时，Weibull 分布类似于极值分布。同样，这种形式的分布可以对产品寿命的最后阶段进行建模。

WEIBULL 永远是最佳选择吗？

涉及可靠性时，Weibull 分布通常是万能分布，但一定要注意的是，其他分布系列也可以对各种分布形状进行建模。您希望找到最适合您的数据的分布，而这可能不是 Weibull 分布形式。例如，由化学反应或腐蚀引起的产品失效通常采用对数正态分布进行建模。

您可以使用 Minitab 的分布 ID 图来评估数据的拟合情况（统计 > 可靠性/生存 > 分布分析(右删失或任意删失)）。如果您想了解更多详细信息，请查看 Jim Frost 撰写的有关确定数据分布的帖子。

审核编辑 黄昊宇