量子技术使用线性方程式作为解非线性微分方程式

曾经我们以为，无论计算机有多么强大，都不足以预测未来。现在这个想法很可能要被推翻了：计算机可能比人类更擅长成为「先知」。

在某些领域，计算机能够轻易地预测未来，例如像树汁是如何在树干中流动的这样简单、直观的现象可以被线性微分方程的几行代码所捕获。但在非线性系统中，相互作用会影响到自身——当气流经过喷气机的机翼时，气流会改变分子相互作用，从而改变气流，循环往复。这种反馈循环会滋生混乱，即使是初始条件下的微小变化也会导致后来的行为产生巨大变化，从而使预测几乎不可能成功，无论计算机的算力如何。

马里兰大学量子信息研究员安德鲁 • 柴尔德斯（Andrew Childs）说：「这就是为什么天气难以预测、复杂的流体流动难以理解的原因之一。如果可以弄清楚这些非线性动力学，则可以解决一些棘手的计算问题。」

这并非是一种空想，并且可能很快就会实现。在 11 月发表的独立研究中，Childs 领导的团队和 MIT 的团队都描述了一个强大的工具，可以使量子计算机更好地对非线性动力学进行建模。

与传统计算机相比，量子计算机能够利用量子现象更有效地执行某些特定的计算。正是由于具有这些功能，量子计算机得以使复杂的线性微分方程式被快速地推翻。长期以来，研究人员一直希望他们可以通过巧妙的量子算法来解决非线性问题。

尽管这两个研究所使用的具体方式差异很大，但都使用了将非线性伪装成更易理解的线性近似集的一种新方法。所以，现在有两种不同的使用量子计算机解决非线性问题的方法。

悉尼科技大学量子计算研究员 MáriaKieferová 说：「这两篇论文的有趣之处在于，他们找到了一种机制，在给定一些假设的情况下，它们拥有高效的算法。这真的很令人兴奋，两项研究都使用了非常巧妙的技法。」

「这就像教汽车飞行」

十几年来，量子信息研究人员一直尝试使用线性方程式作为解非线性微分方程式的关键却难有进展，最终在 2010 年有了突破。当时位于悉尼麦考瑞大学（Macquarie University）的多米尼克 · 贝里（Dominic Berry）建立了第一个用于在量子计算机上而不是传统计算机上的算法，以指数形式更快地求解线性微分方程。很快，贝瑞的工作重点也转移到了非线性微分方程上。Berry 说：「我们之前已经做过一些工作，但是效率非常低下。」

马里兰大学的安德鲁 · 柴尔德斯（Andrew Childs）带领了两项研究工作之一，使量子计算机能够更好地对非线性动力学建模。他的团队的算法使用称为「Carleman 线性化」的技术，将这些非线性系统变成了一系列更易于理解的线性方程组。

问题是，量子计算机所基于的物理学本质上是线性的。MIT 研究的合著者 Bobak Kiani 说：「这就像教汽车飞行。」

因此，诀窍是找到一种将数学上的非线性系统转化为线性系统的方法。Childs 说：「我们希望拥有一些线性的系统，因为这是我们工具箱所具有的功能。」 两个团队以两种不同方式做到了这一点。

Childs 的团队使用了 1930 年代的一种过时的数学技术卡尔曼线性化（Carleman linearization），将非线性问题转换为线性方程组。不幸的是，方程组里的方程有无限个。研究人员必须弄清楚他们可以从中删除哪些方程，以获得足够好的近似值。「停止在等式 10 上？还是等式 20？」 麻省理工学院的等离子体物理学家，马里兰研究的合著者努诺 · 洛雷罗（Nuno Loureiro）说。该团队证明了在特定范围内的非线性方程，他们可以截断该无限方程组并求解方程。

MIT 团队的论文采用了不同的方法，将非线性问题建模为玻色–爱因斯坦凝聚态（Bose-Einstein condensate）。这是一种物质状态，接近绝对零度的粒子的组内相互作用导致了每个单独的粒子行为是相同的。由于粒子都是相互连接的，因此每个粒子的行为都会影响其余的粒子，并以非线性的循环特性反馈到该粒子。

MIT 的方法是使用玻色–爱因斯坦数学方法将非线性和线性联系起来，从而在量子计算机上模拟了这种非线性现象。因此，通过将每个非线性问题分别想象成不同的伪玻色–爱因斯坦凝聚物，该算法推导出了有效的线性近似。「给我你最喜欢的非线性微分方程，我为你建立一个可以模拟它的玻色 - 爱因斯坦凝聚物，」汉诺威莱布尼兹大学量子信息科学家托比亚斯 · 奥斯本（Tobias Osborne）没有参与这两个研究，他表示：「这是我真正喜欢的一个想法。」

由 MIT 领导的团队的算法将任何非线性问题建模为玻色–爱因斯坦冷凝物，这是一种奇特的物质状态，其中相互连接的粒子的行为均相同。

Berry 认为这两篇论文在不同方面都很重要（他没有参与其中的任何一篇）。他说：「但最终，它们的重要性表明，有可能利用这些方法获得非线性行为。」

了解自己的极限

尽管这些成果很重要，但它们仍只是破解非线性系统的第一步。在实现这些方法所需的硬件成为现实之前，更多研究可能聚焦分析和完善每种方法。Kieferová 说：「有了这两种算法，我们真的可以展望未来了。」但要想使用它们来解决实际的非线性问题，就需要具有数千个量子比特的量子计算机来最大程度地减少误差和噪声，而这远远超出了现有的可能性。

同时，这两种算法实际上只能处理轻度非线性问题。马里兰州的研究准确地量化了可以处理多少非线性的新参数 R，R 代表了问题的非线性与其线性的比率，即问题趋于非线性的趋势与将系统保持在轨道上的摩擦力。

「Childs 的研究在数学上是很严格的，包括什么时候是可以用、什么时候不可以用。」Osborne 说 「我认为这确实非常有趣，这是核心的贡献。」

根据 Kiani 的说法，由 MIT 领导的研究并未严格证明任何限制其算法的定理。但是该小组计划通过在量子计算机上运行小规模测试来进一步了解算法的局限性，然后再处理更具挑战性的问题。

两种技术给我们带来的最重要的警示是，量子解决方案从根本上不同于经典解决方案。量子状态对应的是概率，而不是绝对值，比如你无需观察喷气机机身各个部分周围的气流，而是获取平均速度或检测停滞的空气。Kiani 说：「结果属于量子力学的这一事实意味着，之后仍然需要做很多工作来分析这种状态。」

研究人员势必在未来五到十年内，针对实际问题测试出许多成功的量子算法，但重要的是不要过度承诺量子计算机可以做什么。Osborne 说：「我们将尝试各种事情。而且，如果我们去考虑局限性，那可能会限制我们的创造力。」
编辑：hfy