什么是组合最优化？

你玩过魔方吗？

小小的正方体上布满六种不同的颜色，看似旋转翻飞眼花缭乱，却总会在某个瞬间完成惊喜变身。魔方作为一种益智玩具，不仅老少皆宜，更是风靡全球，实力堪称指尖上的艺术。

但你知道吗？现在不仅人类在玩，连AI机器人也加入了这个游戏阵营。

看似简单的小小魔方，你知道它的颜色组合有多少种吗？

4325 亿亿种

无论什么样的颜色组合，最少需要多少次才能保证他们都能复原？

20次

大家可能也听说，玩得好的人都知道魔方的还原口诀（类似独孤九剑的口诀）。据数学大神们说，世间所有的事物背后都有相应的数学方程去表示或者控制，何况游戏！

其实，魔方所涉及的基本数学理论就是组合最优化。今天，我就给大家分享一下组合最优化的基本知识及工程应用。

01

什么是组合最优化？

通俗地讲，组合最优化研究的问题就是讨论在众多的组合方案中，什么样的方案最优以及如何找出最优方案；

学术地讲，组合最优化是一个重要的数学分支，即通过对数学方法的研究去寻找事件的最优编排，分组，次序或筛选等，其一般数学模型是：

其中f(X)是目标函数，g(X)是约束函数，D是定义域。

02

抽象数学表达式具体化

组合最优化领域有很多经典的例子，它们通俗易懂，很适合锻炼人的数学思维能力，好多奥数竞赛的题目就来源于他们。

比如说“旅行商问题”：一个商品推销员要去若干个（n）城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地，应如何选择行进路线，才能使总的行程最短。初看起来很简单，穷举所有可能性的路线，选择最短的那个，对于n很小的情况，小朋友都能够理解，也很容易；但对于n比较大的情况，穷举遍历法就不可行了。

这是一个普通人都能秒懂的问题，却也是至今仍未被完全解决的数学和计算机界难题。除此之外，还有背包问题，匹配问题，排序问题等等，如果谁能够想清楚这些问题，那数学思维能力应该是杠杠的。

03

组合最优化——AI的引擎

AI是个很热的话题。一方面，最优化可以说是AI的引擎，AI问题几乎都能转化为求解能量/损失函数的优化问题，AI模型训练的过程就是以损失函数最小化为目标，采用梯度下降的方法不断更新模型参数的过程；

另外一方面，AI深度学习和强化学习技术也为求解组合最优化问题提供了新思路，即组合最优化的序列决策可以由深度学习或强化学习来替代，求解组合最优化的经典算法可以由强化学习帮助指导算法策略，甚至已经有了专为组合最优化求解而诞生的神经网络Pointer Network。

04

掌握组合最优化，让生活和工作乘风破浪

组合最优化是一门应用广泛、实用性很强的学科，也是一种可以改善生活、提高工作效率的有力工具。

例如，在理财投资中，如何进行投资组合才可以实现收益最大化；在芯片设计过程中，一个计算机芯片需要多少层才能使得同一层的线路互不相交；在运输调度领域，采用什么样的列车调度方案可以最大化整个铁路系统的运行效率；在城建规划中，如何安排工厂、超市、住宅、学校、医院等单位的布局，才能有利于城市的平衡发展；在生产计划安排中，采用什么样的方案才可以实现利润最大化。

大到国家政策，中到企业战略，小到个人选择都或多或少地涉及到组合最优化。甚至可以说，我们的生活和工作一直在潜意识地进行着最优化组合求解，系统的学习和训练会让这个过程更高效便捷。

05

我是一名工程师，在博世有哪些工程项目会用到组合最优化？

目前博世正在如火如荼地进行数字化转型探索，生产部门有大量的场景和数据等待挖掘，比如产线合理排班，贴片机贴片顺序等都有可能涉及到组合最优化。

而工程部的业务主要是跟设计相关的，比如说PCB的布局与布线设计，机械结构件的设计等等。这些设计工作严重依赖工程师的经验，似乎很难进行数字化优化。设计工作就是在满足一定约束条件下，设计完成某些功能的过程，对这进行高度抽象，不就是组合最优化问题吗？

在PCB板设计结束后，要对板子上的某些元器件进行保护层设计和保护层喷涂。目前设计依赖设计工程师的设计经验，喷涂路径依赖产线工程师的经验及其反复调试，其缺点是依赖专家经验，项目周期长。

如果能根据组合最优化原理开发一种PCB元器件保护层自动设计软件，帮助设计工程师优化保护层设计，帮助产线工程师优化喷涂路径，提升工作效率，那将是极好的。

于是我们有了下图设计：

通过使用我们提供的自动化设计软件，项目的交付时间将缩短85%以上。这可以看作是数字化过程中典型的案例，利用组合最优化技术极大地提升了设计人员的工作效率，也提升了喷涂的生产效率。

除此之外，还有PCB的设计工作，如何借助组合最优化及AI技术帮助PCB设计工程师快速布线和布局是一个有意义但极具挑战性的问题，这也很值得探索。

总之，组合最优化涉及到我们生活的各个方面，掌握组合最优化不仅使我们能玩好魔方，而且能丰富我们的生活和工作的思路，更能直接提升工程师的工作效率。