Butterworth滤波器设计的详解

从本节开始深入讨论各种不同滤波器设计，本节是Butterworth滤波器综合设计，结合之前电路仿真的工作，现将Butterworth型滤波器集成到了滤波器设计App中，并提供一个试用版本，提供GitHub开源链接。

Butterworth滤波器特点和用途

Butterworth滤波器是Stephen Butterworth于1930年首先发表于众参考[模拟无源滤波器设计（一）]，特点是其具有最平坦频率响应，故很多地方将其称为最平响应滤波器 ，其最平坦响应滤波器可能会被有些工程师所误解，认为其频率响应最为平坦，实际上这里最平响应是指在DC附近(低通滤波器)具有最平坦响应，也就是说在频率为0处其频率响应高阶导数为0(注，由于其传输函数中含有特征多项式 ， 为滤波器阶数，所以不管求导多少次都在0频率处取得0值)。实际上Butterworth滤波器在接近截止频率处频率响应并不好。

Butterworth滤波器的另外一个特点是其数学分析和网络结构都比较简单，有较好的相位特性，滤波器所需要的器件容易获得故其得到了广泛的应用。

关于Butterworth本人的相关信息可以参考翻译文章。

匹配型Butterworth滤波器综合

匹配型Butterworth滤波器的幅频响应为: 是 对 归一化频率，即 .

由之前讨论的由功率反射一套理论可以由幅频响应得到功率损失，进而由反射相关理论得到输入阻抗，最后由辗转相除法得到器件值，由之前的阻抗值：

其中 固定为 , 比较难些，称其为巴特沃斯多项式，这里直接引用计算得到的通项公式： 式中： 由辗转相除的方法计算前几项并总结规律得到，第 个枝节器件值为：

任意频率处衰减的滤波器综合

以上是对截止频率为-3dB下的滤波器综合，当截止频率为 并且此处的频率响应为: 在 的衰减为： 系数 和反射系数有关： 当反射系数 为0.707时，有一半功率反射时，即-3dB衰减，有 ，这时频率响应曲线和匹配型公式一致。

此时对应的元件公式为: 其中：

由衰减确定滤波器阶数

设滤波器综合的通带频率为 ，其衰减为 dB，截止频率为 ，其衰减为 dB.示意图如下：

所要求的通带到阻带的衰减是 ，可以通过计算得到衰减和阶数关系为：

非匹配型Butterworth滤波器综合

上述公式是匹配型滤波器设计公式，当输入 输出 阻抗不匹配时，其传输函数： 其中，由最初的定义，当 时和匹配型滤波器一样：

令: 这里实际上只需要讨论一种情况即可，如 ，则对于 的情况只需要简单的将电路器件反序过来即可。

系数 和衰减 的关系为： 具体归一化的LPF滤波器器件值为：

详细推导过程可以参阅 。

设计实例

这里以3阶Butterworth低通滤波器为例说明，设 ，得到:

所以得到： 由于这里的参数均是相对于T型网络 计算的，所以最终的电路参数为： 电路如下：

不同滤波器通带类型之间的转换

只要有了低通(LP)滤波器原型，那么高通(HP)、带通(BP)、带阻(BR)滤波器参数可以非常容易的求得。

• 低通滤波器到高通滤波器

我们只需要将 ，都知道电容的容抗为 ，电感的感抗为 ，所以将其中的 替换为 得到：

这样即可将低通转换为高通，由于 和 之间是倒数的关系，当 时那么 ，当 时那么 ，当 时那么 ，这也就是说低通的阻带是高通的通带，低通的通带是高通的阻带，低通的截止频率和高通的截止频率相等。

• 低通滤波器到带通滤波器

我们只需要将 ，这里可以将带通滤波器理解为高通滤波器+低通滤波器组成(两个滤波器串联)，从转换公式可以看到 代表低通, 代表高通，两者叠加变为带通，我们用上面的办法分别对低通的电感和电容做 替换：

这样即可将低通转换为带通，由于 函数是一个对钩函数，即两头高，中间低，当 时那么 ，当 时那么 ，当 时那么 ，这里是以实频率来说的，实际上电容电感阻抗是有虚部的，为简单直观起见这里并未考虑。

• 低通滤波器到带阻滤波器

带阻可以理解为带通的倒数，我们只需要将 ，这里可以将带通滤波器理解为高通滤波器//低通滤波器组成(两个滤波器并联)，从转换公式可以看到 代表低通, 代表高通，两者叠加变为带阻，我们用前面的办法分别对低通的电感和电容做 替换：

这样即可将低通转换为带阻，分析方法和前面类似，读者可以自行分析。

滤波器的零极点分析

Butterworth低通滤波器的极点在一个圆上，可以通过 的公式(这里仅仅讨论匹配型Butterworth)可以推导: 令公式的分母等于0，得到极点位置公式为： 根据欧拉公式 并且做个拓展 后可以得到: 可见 上的点落在一个圆上，我们取复平面的左边极点即可得到 的通项公式。

另外滤波器频率响应曲线和零极点息息相关，所以在滤波器电路分析中我们可以通过零极点来判断滤波器状态。典型的应用是滤波器电路参数和零极点的灵敏度的关系，从而可以找出敏感器件。

不同通带类型滤波器零极点图如下：

高通和低通的极点相同，零点位置不同而已；带通和带阻的极点相同，零点位置不同。

PS:上述零极点分析可以在文末的GitHub仓库中滤波器设计软件自动生成。

Butterworth滤波器设计软件

基于Matlab的appdesign工具开发了一套Butterworth滤波器设计软件，主要特点是：

• 支持4种不同滤波器通带类型(LPF,HPF,BPF,BRF)设计
• T型和PI型结构滤波器随意切换
• 可以设置阻带衰减决定滤波器阶数
• 可以设置通带衰减来综合滤波器
• 可以随意配置负载和终端阻抗，并支持一端接载(源端电阻短路，源端电流源，终端开路，终端短路)设计
• 可以幅频响应分析、零极点分析、瞬态分析

LPF设计举例

设计一款-3dB截止频率为1GHz，7阶低通Butterworth滤波器，输入输出阻抗为50欧姆，设计过程如下：

最终设计参数如下：

PZ分析结果如下：

BPF设计举例

设计7阶带通Butterworth滤波器，输入阻抗为50欧姆，输出开路，并进行瞬态仿真，设计过程如下：

最终设计参数如下：

瞬态仿真结果：

上述设计的带通滤波器只有一种综合结果，其中Tee和PI选择并没有任何作用。

程序的Matalb源码已经上传GitHub中 (https://github.com/etools361/MatlabFilterDesignApp)，有兴趣的同学可以下载试用体验，当然也欢迎技术交流。