偶数阶勒让德滤波器的设计介绍

这篇文章推导了偶数阶勒让德滤波器(L滤波器, Pupoulis滤波器)的设计，方法几乎和Pupoulis的一模一样，但是作为Pupoulis滤波器的补充是非常有必要介绍本篇论文的。

Optimum Filters of Even Orders with Monotonic Response*

偶数阶单调响应的最优滤波器*

MINORU FUKADA

自从收到本文后，Pupoulis关于同一问题的类似解决方案已经作为一封给编辑的信件出现在IRE的会议记录中。尽管Fukada在提交他的论文时并不知道这个先前的公开信息，但是因为Fukada的处理包含了更多的细节并且包括了计算响应曲线，我们决定它仍然值得发表。—编辑

引言

PAPOULIS开发了一类新的滤波器（滤波器），在单调递减的频响下具有最大截止率。这类滤波器在阻带中的衰减比同阶的Butterworth滤波器更大，但由于其频率响应中的单调性质，它仍然保持了尚可的时域响应。Papoulis给出了奇数阶(odd degree)最优多项式的公式，从中推导出这些滤波器。本文的目的是给出偶数阶(even degree)最优多项式的一般公式，并表明从这些多项式中，滤波器实际上是可以被实现出来的。

偶数阶的滤波器

一个没有有限零点的滤波器的幅度特性可以写成以下形式：

其中是一个在上的阶数为，且有实系数的多项式。如果随着的增加而单调增加，那么的单调性要求就可以被满足。因此，滤波器的问题是确定一个在上的阶数为的正递增多项式，使得在点的斜率最大。数学上，我们可以通过以下等式来定义这个问题:

以及是最大的。

对于奇数的，解已经由Papoulis给出；因此，下面的讨论将仅限于偶数的

其中，由在截止频率处的指定衰减所定。网络函数可以通过常规方法确定。设为幅度等于的网络函数。然后我们有

从中我们获得了左半平面极点的。参考图3的情况，我们有

从这个关系式我们得到，并将连分数展开，我们获得无耗梯形网络实现。在下面的例子中，我们将取，使得在处产生的衰减。

特殊情况

由公式(7)我们得到

因此，由公式(6)我们得到

这表明二阶的滤波器退化为滤波器(译注：这里指Butterworth滤波器)。

由公式(8)和公式(6)我们得到，

多项式及其结果的幅频响应分别在图1和图2中绘制。的极点由下式给出

从中我们得到

的极点和梯形网络实现如图3所示。

因此，

多项式及其结果的幅度响应分别在图4和图5中绘制。的极点由下式给出

从中我们得到

其中，

的极点和梯形网络实现如图6所示。

到

结合Papoulis的结果和这里提供的结果，我们可以得到所有多项式的表格。表1列出了时的所有多项式，以及作为一个衡量标准。

表 1

2		4
3		8
4		12
5		18
6		24
7		32

结论

在上述处理过程中，我们给出了偶次最优多项式的表达式；然而，这些网络函数的极值并未以解析形式确定。在综合步骤中，确定极值所需的数值计算是冗繁的，因此，找到这个问题的答案十分重要。

附录

要确定多项式在(3)和(4)中的形式，我们需要解决以下问题。考虑偶次多项式，它的次数，满足

在这里需要确定多项式，其斜率

最大。有

我们得到

由于非负，其在区间内的所有根都是重根。因此，可以将其写成如下形式

其中是一个没有内部根的奇次多项式，

如果不是线性形式，那么它的次数至少是三。然而，可以证明这是不可能的。因此，应为线性形式，而且从(17)很明显，中的常数项是正的，可以被认为是1。然后，

其中

由于会导致，所以可以排除。如果，我们可以选择足够小的，使得

同时

我们得到

多项式的导数

在点处的值将由下式给出：

这是不可能的。因此，或

因此

为了确定多项式的次数，我们首先将其展开成第一类Legendre多项式的级数，

现在，(13)和(14)变为

和

形成一个函数，满足

然后我们的问题就是确定满足以下等式的(译注：这里使用了拉格朗日乘数法[method of Lagrange multipliers]求约束条件下的极值问题)。

因此，

其中

和

在上述的计算中，我们使用了Legendre多项式的正交关系

和递归公式，

式(31)的解如下所示：

情况  

情况 

然后，由于(33)中的项

为0，我们得到

因此，

常数可以从(28)方便地求出，

可以通过一个变换从得到(译注：这里是一个简单的线性变换，可以理解为一个线性函数, ，那么即可求出)

由此可以很容易地得到(6)到。

致谢

作者想要表达对Papoulis教授的感谢，因为他关于滤波器的文章，本工作基本上是依据他的方法进行开发的。

参考文献

Manuscript received by the PGCT, December 8, 1958 .

  Yokogawa Elec. Works, Ltd., Musashinu-shi, Tokyo, Japan.

[1]: A. Papoulis, “On monotonic response filters,” Proc. IRE, vol 47, pp. 332-333; February, 1959.

[2]: A. Papoulis, “Optimum filters with monotonic response,” P_(ROC). IRE, vol. 46, pp. 606-609; March, 1958[具有单调响应的最优滤波器 ].

[3]: A. Papoulis, “A new class of filters,” 1958 N_(ATIONAL) IRE C_(ONVENTION) R_(ECORD), pt. 2, pp. 42-47.

[4]: E. Jahnke and F. Emde, “Tables of Functions,” B. G. Teubner, Leipzig and Berlin, Germany, pp. 173-183; 1933.

[5]: E. A. Guillemin, “Synthesis of Passive Networks,” John Wiley and Sons, Inc., New York, N. Y., pp. 445-455; 1957.

编辑：黄飞