神经网络从原理到实现

由 joycha 于 星期二, 2018-09-18 13:42 发表

1. 简单介绍

在机器学习和认知科学领域，人工神经网络（artificial neural network，缩写ANN），简称神经网络（neural network，缩写NN）或类神经网络，是一种模仿生物神经网络(动物的中枢神经系统，特别是大脑)的结构和功能的数学模型或计算模型，用于对函数进行估计或近似。神经网络由大量的人工神经元联结进行计算。大多数情况下人工神经网络能在外界信息的基础上改变内部结构，是一种自适应系统。现代神经网络是一种非线性统计性数据建模工具。典型的神经网络具有以下三个部分：

结构 （Architecture） 结构指定了网络中的变量和它们的拓扑关系。例如，神经网络中的变量可以是神经元连接的权重（weights）和神经元的激励值（activities of the neurons）。

激励函数（Activity Rule） 大部分神经网络模型具有一个短时间尺度的动力学规则，来定义神经元如何根据其他神经元的活动来改变自己的激励值。一般激励函数依赖于网络中的权重（即该网络的参数）。

学习规则（Learning Rule）学习规则指定了网络中的权重如何随着时间推进而调整。这一般被看做是一种长时间尺度的动力学规则。一般情况下，学习规则依赖于神经元的激励值。它也可能依赖于监督者提供的目标值和当前权重的值。

2. 初识神经网络

如上文所说，神经网络主要包括三个部分：结构、激励函数、学习规则。图1是一个三层的神经网络，输入层有d个节点，隐层有q个节点，输出层有l个节点。除了输入层，每一层的节点都包含一个非线性变换。

图1

那么为什么要进行非线性变换呢？

（1）如果只进行线性变换，那么即使是多层的神经网络，依然只有一层的效果。类似于0.6*(0.2x1+0.3x2)=0.12x1+0.18x2。
（2）进行非线性变化，可以使得神经网络可以拟合任意一个函数,图2是一个四层网络的图。

图2

下面使用数学公式描述每一个神经元工作的方式
（1）输出x
（2）计算z=w*x
（3）输出new_x = f(z)，这里的f是一个函数，可以是sigmoid、tanh、relu等，f就是上文所说到的激励函数。

3. 反向传播(bp)算法

有了上面的网络结构和激励函数之后，这个网络是如何学习参数（学习规则）的呢？

首先我们先定义下本文使用的激活函数、目标函数

（1）激活函数（sigmoid）：

def sigmoid(z): return 1.0/(1.0+np.exp(-z))

sigmoid函数有一个十分重要的性质：，即计算导数十分方便。

def sigmoid_prime(z): return sigmoid(z)*(1-sigmoid(z))

下面给出一个简单的证明：

（2）目标函数（差的平方和），公式中的1/2是为了计算导数方便。

然后，这个网络是如何运作的

（1）数据从输入层到输出层，经过各种非线性变换的过程即前向传播。

def feedforward(self, a): for b, w in zip(self.biases, self.weights): a = sigmoid(np.dot(w, a)+b) return a

其中，初始的权重（w）和偏置（b）是随机赋值的

biases = [np.random.randn(y, 1) for y in sizes[1:]] weights = [np.random.randn(y, x) for x, y in zip(sizes[:-1], sizes[1:])]

2）参数更新，即反向传播

在写代码之前，先进行推导，即利用梯度下降更新参数，以上面的网络结构（图1）为例

（1）输出层与隐层之间的参数更新

（2）隐层与输入层之间的参数更新