诺顿定理的详细证明

诺顿定理的定义

对于一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，一般可以用一个电流源和电导（电阻）的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该含源一端口网络的短路电流（short-circuit current）Isc，而电导（电阻）等于把该一端口网络中的全部独立电源置零后的输入电导Geq（等效电阻Req）。

诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。

如何证明诺顿定理

（1）诺顿定理的内容

任一线性含源单口网络，对外而言，可以简化为一个实际电源的电流源模型。此实际电源的理想电流源参数等于单口网络端口处的短路电流，其内阻等于原单口网络去掉内部独立源后，从端口处得到的一个等效电阻。诺顿定理可以用图1描述如下：

图1中ISC为短路电流，RO为诺顿等效电阻，N网络为含独立电源的单口网络，NO网络为N网络去掉独立源之后所得到的单口网络。

（2）诺顿定理的证明

设一线性有源单口网络N 与外电路相连。如图2（a）所示，端口ab处的电压为U，电流为I。现在寻求对外电路而言N网络最简单的等效电路。首先，用替代定理将外电路用一个电压源US=U代替，如图2（b）所示。

根据叠加定理，N网络端口处的电流I可以看成由网络内部电源及网络外部电源US共同作用的结果，即

I= P+P

式中为外部电源去掉后（电压源短路）时的端口电流，即含独立电源的单口网络N的短路电流，即

P=Isc

式中P为N网络内独立电源是零（电压源短接，电流源开路）时的端口电流，NO对外等效为一个内阻RO，则

由上式画出一电路正好是一个电流源与一个电阻支路并联，电流源的电流等于含独立源二端网络的短路电流，并联电阻等于将N网络内部所有电源置零后得到的NO网络从端口看进去的等效电阻RO，如图3所示。这就证明了诺顿定理。

诺顿定理的验证

一、实验原理

1）任何一个线性含源网络，如果仅研究其中一条支路的电压和电流，则可将电路的其余部分看作是一个有源二端网络（或称为含源一端口网络）。

戴维南定理指出：任何一个线性有源网络，总可以用一个电压源与一个电阻的串联来等效代替，如图6-1

此电压源的电动势Us等于这个有源二端网络的开路电压Uoc， 其等效内阻R0等于该网络中所有独立源均置零（理想电压源视为短接，理想电流源视为开路）时的等效电阻。

诺顿定理指出：任何一个线性有源网络，总可以用一个电流源与一个电阻的并联组合来等效代替，如图6-2

2、有源二端网络等效参数的测量方法

（1）开路电压、短路电流法测R0

在有源二端网络输出端开路时，用电压表直接测其输出端的开路电压Uoc，然后再将其输出端短路，用电流表测其短路电流Isc，则等效内阻为。如果二端网络的电阻很小，若将其输出端口短路则易损坏其内部元件，因此不宜用此法。

（2）伏安法

用电压表、电流表测出有源二端网的外特性曲线，如图6-3所示。根据 外特性曲线求出斜率tgφ，则内阻 为R0=。

用伏安法，主要是测量开路电压及电流为额定值时的输出端电压，则内阻为R0=。若二端网络的内阻值很低时，则不易测其短路电流。

（3）半电压法测R0

如图6-4所示，当负载电压为被测网络开 路电压的一半时，负载电阻（由电阻箱的读数确定）即为被测有源二端网络的等效内阻值。

（4）零示法测UOC

在测量具有高内阻有源二端网络的开路电压时，用电压表直接测量会造成较大的误差。为了消除电压表内阻的影响，往往采用零示测量法，如图6-5所示。

零示法测量原理是用一低内阻的稳压电源与被测有源二端网络进行比较，当稳压电源的输出电压与有源二端网络的开路电压相等时，电压表的读数将为“0”。然后将电路断开，测量此时稳压电源的输出电压， 即为被测有源二端网络的开路电压。

二、实验设备

三、实验内容

被测有源二端网络如图6-6

1、用开路电压、短路电流法测定戴维南等效 电路的Uoc、R0和诺顿等效电路的ISC、R0。

按图6-6（a）接入稳压电源Us=10V和恒流源Is=10mA。 接入负载RL。测出UOc和Isc，并计算出R0。

2、负载试验

按图6-6（a）接入RL，改变RL阻值，测量有源二端网络的外特性曲线。

3、验证戴维南定理：用一只470欧姆的电位器作为R0， 将其阻值调到步骤“1”时所测得的电阻R0的值，然后令其与直流稳压电源（调到步骤“1”时所测得的开路电压Uoc之值）相串联，如图6-6（b）所示，仿照步骤“2”测其外特性，对戴氏定理进行验证。

4、验证诺顿定理：用一只470欧姆的电位器作为R0，将其阻值调整到等于按步骤“1”所得的等效电阻R0之值， 然后令其与直流恒流源（调到步骤“1”时所测得的短路电流ISC之值）相并联，如图6-6（c）所示，仿照步骤“2”测其外特性，对诺顿定理进行验证。

5、有源二端网络等效电阻（又称入端电阻）的直 接测量法。见图6-6（a）。将被测有源网络内的所有独 立源置零（将电流源IS断开，去掉电压源US，并在原电压源所接的两点用一根短路导线相连），然后用伏安法或者直接用万用表的欧姆档去测定负载RL开路时A、B两 点间的电阻，此即为被测网络的等效内阻R0，或称网 络的入端电阻Ri 。

6、用半电压法和零示法测量被测网络的等效内阻R0及其开路电压Uoc。线路及数据表格自拟。

四、实验注意事项

1、测量时应注意电流表量程的更换。

2、步骤“5”中，电压源置零时不可将稳压源短接。

3、用万用表直接测R0时，网络内的独立源必须先置零，以免损坏万用表。其次，欧 姆档必须经调零后再进行测量。

4.、改接线路时，要关掉电源。

五、实验报告

1、根据步骤2、3、4，分别绘出曲线，验证戴维南定理和诺顿定理的正确性， 并分析产生误差的原因。

2、根据步骤1、5、6的几种方法测得的Uoc与R0与预习时电路计算的结果作比较，你能得出什么结论。

诺顿定理的注意事项

（1）诺顿定理只对外电路等效，对内电路不等效。也就是说，不可应用该定理求出等效电源电动势和内阻之后，又返回来求原电路（即有源二端网络内部电路）的电流和功率。

（2）应用诺顿定理进行分析和计算时，如果待求支路后的有源二端网络仍为复杂电路，可再次运用诺顿定理，直至成为简单电路。

（3）诺顿定理只适用于线性的有源二端网络。如果有源二端网络中含有非线性元件时，则不能应用诺顿定理求解。