方波的Gibbs现象简析

今日正文

(1)占空比为50%的方波的傅里叶级数展开

假设有一个方波，周期是T，占空比τ为0.5，幅度为1，如下图所示。

周期信号的傅里叶级数为：

因此，可以求得，方波的各个频率分量所对应的傅里叶系数Ck，分别为：

也就是说，方波用傅里叶级数暂开后，可以得到：

也就是说，上述图示的方波是由直流和一系列不同幅度的余弦函数构成的。

(2)演示一下，用各个分量，慢慢叠加，形成方波。

当只有直流时，图形为：

叠加上频率为w0的余弦信号，图形为：

叠加上频率为3w0的余弦信号，图形为：

叠加上频率为5w0的余弦信号，图形为：

......

叠加上频率为101w0的余弦信号，图形为：

......

叠加上频率为1001w0的余弦信号后，图形为：

(3)吉布斯现象(Gibbs phenomenon)

由上面的叠加图形可以看到，当用余弦波叠加去逼近方波信号时，所用的谐波次数N即使增加到1001后，在不连续点的附近，仍然会出现过冲。

N越大，过冲的最大值越接近不连续点，但其峰值并不下降，而是大约等于原函数在不连续点处跳变值的9%。

(4) 上面的图形的Python程序

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def square_wave(T, tau, num_periods):
    """Generate a square wave."""
    t = np.linspace(-T * num_periods / 2, T * num_periods / 2, 100000)
    duty_cycle = tau / T
    waveform = np.zeros_like(t)
    waveform[((t+0.25*T) % T) < (duty_cycle * T )] = 1
    waveform1=np.ones_like(t)*0.5
    return t, waveform,waveform1


def harmonic_component(T, n, amplitude,num_periods):
    """Generate a harmonic component."""
    t = np.linspace(-T * num_periods / 2, T * num_periods / 2, 100000)
    frequency = n / T
    component = amplitude * np.cos(2* np.pi * frequency*t)
    return t, component


def main():
    """Main function."""
    T = 1  # Period
    tau = 0.5 * T  # Pulse width
    num_periods = 5  # Number of periods to plot
    num_harmonics = 1001  # Number of harmonics to include


    # Generate the fundamental square wave
    t, waveform,waveform1 = square_wave(T, tau, num_periods)


    # Plot the fundamental square wave
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    # plt.plot(t, waveform, label='Fundamental')


    
    # Generate and add harmonic components
    for n in range(1, num_harmonics + 1):
        _, component = harmonic_component(T, n, np.sinc(n/2),num_periods)
        waveform1 += component
        
    plt.plot(t, waveform1)
    plt.xlabel('Time')
    plt.ylabel('Amplitude')
    plt.title('Square Wave Reconstruction with Harmonic Components')
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    main()

审核编辑：刘清