S曲线的基本变换计算

摘要： 本节介绍S曲线的基本变换，将基本形式的S曲线变换成为任意过两点的S曲线，为后续步进电机S曲线运动提供理论支撑

一.计算目标

①计算经过任意不同两点的S曲线方程

②可调节曲线平滑度

③可调节曲线对称度

④绘制其图像

二.计算过程

2.1 S曲线基本形式

2.2 S曲线变换

第一步： 进行X轴比例变换，比例系数为N(N≠0)

变换后S曲线方程为：

第二步： 进行X轴平移变换，平移系数为A

变换后S曲线方程为：

第三步： 进行Y轴比例变换，比例系数为K(K≠0)

变换后S曲线方程为：

第四步： 进行Y轴平移变换，平移系数为B

变换后S曲线方程为：

最终得到S曲线变换之后函数关系式：

其中：

N-X轴方向比例变换系数

K-Y轴方向比例变换系数

A-X轴方向平移系数

B-Y轴方向平移系数

2.3 参数计算

要求变换之后的S曲线经过P1(X1,Y1）,P2(X2,Y2)两点，可建立方程

方程有N,K,A,B四个未知数，需要给定2个参数由用户设定,此处选择N,A，则可求得K,B值为：

其中N值作为X轴方向比例变换系数，N>1时，S曲线X方向放大，N<1时，S曲线X方向缩小，可以将N值等效为S曲线的平滑度调节参数

其中A值X轴方向平移系数，A>0时，S曲线向X正方向平移，A<0时，S曲线向X负方向平移，可以将A值等效为S曲线的对称度调节参数

2.4中心对称条件

当随意给定N,A值时,S曲线容易出现失真，如下图所示

为确保经过P1,P2两点的S曲线也为中心对称，则要求S曲线经过P1P2连线的中点P0(X0,Y0),如图所示

则可建立三个等式

N由用户设定，可求得A值

三.总结

通过上述计算，完成了目标中的4点要求。在不同的应用场景中，可以根据实际情况去对该S曲线进行灵活处理。S曲线代表的v-t图像中对其进行求导可以求得a-t关系。