如何计算transformer模型的参数量

1. 前言

最近，OpenAI推出的ChatGPT展现出了卓越的性能，引发了大规模语言模型(Large Language Model,LLM)的研究热潮。大规模语言模型的“大”体现在两个方面：模型参数规模大，训练数据规模大。以GPT3为例，GPT3的参数量为1750亿，训练数据量达到了570GB。进而，训练大规模语言模型面临两个主要挑战：显存效率和计算效率。

现在业界的大语言模型都是基于transformer模型的，模型结构主要有两大类：encoder-decoder（代表模型是T5）和decoder-only，具体的，decoder-only结构又可以分为Causal LM（代表模型是GPT系列）和PrefixLM（代表模型是GLM）。归因于GPT系列取得的巨大成功，大多数的主流大语言模型都采用Causal LM结构。因此，针对decoder-only框架，为了更好地理解训练训练大语言模型的显存效率和计算效率，本文分析采用decoder-only框架transformer模型的模型参数量、计算量、中间激活值、KV cache。

为了方便分析，先定义好一些数学符号。记transformer模型的层数为 ，隐藏层维度为 ，注意力头数为 。词表大小为 ，训练数据的批次大小为 ，序列长度为 。

2. 模型参数量

transformer模型由个相同的层组成，每个层分为两部分：self-attention块和MLP块。

self-attention块的模型参数有 的权重矩阵和偏置，输出权重矩阵  和偏置，4个权重矩阵的形状为 ，4个偏置的形状为 。self- attention块的参数量为 。

MLP块由2个线性层组成，一般地，第一个线性层是先将维度从 映射到，第二个线性层再将维度从映射到。第一个线性层的权重矩阵 的形状为 ，偏置的形状为 。第二个线性层权重矩阵 的形状为 ，偏置形状为 。MLP块的参数量为 。

self-attention块和MLP块各有一个layer normalization，包含了2个可训练模型参数：缩放参数 和平移参数 ，形状都是 。2个layernormalization的参数量为  。

总的，每个transformer层的参数量为 。

除此之外，词嵌入矩阵的参数量也较多，词向量维度通常等于隐藏层维度，词嵌入矩阵的参数量为 。最后的输出层的权重矩阵通常与词嵌入矩阵是参数共享的。

关于位置编码，如果采用可训练式的位置编码，会有一些可训练模型参数，数量比较少。如果采用相对位置编码，例如RoPE和ALiBi，则不包含可训练的模型参数。我们忽略这部分参数。

综上，层transformer模型的可训练模型参数量为。当隐藏维度  较大时，可以忽略一次项， 模型参数量近似为 。

接下来，我们估计不同版本LLaMA模型的参数量。

实际参数量	隐藏维度h	层数l	12lh^2
6.7B	4096	32	6,442,450,944
13.0B	5120	40	12,582,912,000
32.5B	6656	60	31,897,681,920
65.2B	8192	80	64,424,509,440

2.1 训练过程中的显存占用分析

在训练神经网络的过程中，占用显存的大头主要分为四部分：模型参数、前向计算过程中产生的中间激活、后向传递计算得到的梯度、优化器状态。这里着重分析参数、梯度和优化器状态的显存占用，中间激活的显存占用后面会详细介绍。训练大模型时通常会采用AdamW优化器，并用混合精度训练来加速训练，基于这个前提分析显存占用。

在一次训练迭代中，每个可训练模型参数都会对应1个梯度，并对应2个优化器状态（Adam优化器梯度的一阶动量和二阶动量）。设模型参数量为 ，那么梯度的元素数量为 ，AdamW优化器的元素数量为。float16数据类型的元素占2个bytes，float32数据类型的元素占4个bytes。在混合精度训练中，会使用float16的模型参数进行前向传递和后向传递，计算得到float16的梯度；在优化器更新模型参数时，会使用float32的优化器状态、float32的梯度、float32的模型参数来更新模型参数。因此，对于每个可训练模型参数，占用了。使用AdamW优化器和混合精度训练来训练参数量为 的大模型， 模型参数、梯度和优化器状态占用的显存大小为 。

2.2 推理过程中的显存占用分析

在神经网络的推理阶段，没有优化器状态和梯度，也不需要保存中间激活。少了梯度、优化器状态、中间激活，模型推理阶段占用的显存要远小于训练阶段。模型推理阶段，占用显存的大头主要是模型参数，如果使用float16来进行推理，推理阶段模型参数占用的显存大概是 。如果使用KVcache来加速推理过程， KV cache也需要占用显存，KVcache占用的显存下文会详细介绍。此外，输入数据也需要放到GPU上，还有一些中间结果（推理过程中的中间结果用完会尽快释放掉），不过这部分占用的显存是很小的，可以忽略。

3. 计算量FLOPs估计

FLOPs，floating point operations，表示浮点数运算次数，衡量了计算量的大小。

如何计算矩阵乘法的FLOPs呢？

对于 ，计算  需要进行  次乘法运算和  次加法运算，共计  次浮点数运算，需要  的FLOPs。对于  ，计算  需要的浮点数运算次数为  。

在一次训练迭代中，假设输入数据的形状为 。我们 先分析self-attention块的计算，计算公式如下：

1. 计算 ：矩阵乘法的输入和输出形状为。计算量为。

2. 矩阵乘法的输入和输出形状为

。计算量为  。

3. 计算在 上的加权  ，矩阵乘法的输入和输出形状为。计算量为  。

4. attention后的线性映射，矩阵乘法的输入和输出形状为。计算量为  。

接下来分析MLP块的计算，计算公式如下：

1. 第一个线性层，矩阵乘法的输入和输出形状为。计算量为  。

2. 第二个线性层，矩阵乘法的输入和输出形状为。计算量为  。

将上述计算量相加，得到每个transformer层的计算量大约为 。

此外，另一个计算量的大头是logits的计算，将隐藏向量映射为词表大小。矩阵乘法的输入和输出形状为，计算量为  。

因此，对于一个 层的transformer模型，输入数据形状为 的情况下，一次训练迭代的计算量为。

3.1 计算量与参数量的关联

当隐藏维度 比较大，且远大于序列长度 时，我们可以忽略一次项，计算量可以近似为 。前面提到当模型参数量为 ，输入的tokens数为 ，存在等式。我们可以近似认为： 在一次前向传递中，对于每个token，每个模型参数，需要进行2次浮点数运算，即一次乘法法运算和一次加法运算。

一次训练迭代包含了前向传递和后向传递，后向传递的计算量是前向传递的2倍。因此，前向传递 + 后向传递的系数。一次训练迭代中，对于每个token，每个模型参数，需要进行 次浮点数运算。

接下来，我们可以估计训练GPT3-175B所需要的计算量。对于GPT3，每个token，每个参数进行了6次浮点数运算，再乘以参数量和总tokens数就得到了总的计算量。GPT3的模型参数量为 ，训练数据量为  tokens。

3.2 训练时间估计

模型参数量和训练总tokens数决定了训练transformer模型需要的计算量。给定硬件GPU类型的情况下，可以估计所需要的训练时间。给定计算量，训练时间（也就是GPU算完这么多flops的计算时间）不仅跟GPU类型有关，还与GPU利用率有关。计算端到端训练的GPU利用率时，不仅要考虑前向传递和后向传递的计算时间，还要**考虑CPU加载数据、优化器更新、多卡通信和记录日志的时间。一般来讲，GPU利用率一般在之间。

上文讲到一次前向传递中，对于每个token，每个模型参数，进行2次浮点数计算。使用激活重计算技术来减少中间激活显存（下文会详细介绍）需要进行一次额外的前向传递，因此前向传递+ 后向传递 + 激活重计算的系数=1+2+1=4。使用激活重计算的一次训练迭代中，对于每个token，每个模型参数，需要进行 次浮点数运算。在给定训练tokens数、硬件环境配置的情况下，训练transformer模型的计算时间为：

以GPT3-175B为例，在1024张40GB显存的A100上，在300Btokens的数据上训练175B参数量的GPT3。40GB显存A100的峰值性能为312TFLOPS，设GPU利用率为0.45，则所需要的训练时间为34天，这与[7]中的训练时间是对得上的。

以LLaMA-65B为例，在2048张80GB显存的A100上，在1.4TBtokens的数据上训练了65B参数量的模型。80GB显存A100的峰值性能为624TFLOPS，设GPU利用率为0.3，则所需要的训练时间为21天，这与[4]中的实际训练时间是对得上的。

4. 中间激活值分析

除了模型参数、梯度、优化器状态外，占用显存的大头就是前向传递过程中计算得到的中间激活值了，需要保存中间激活以便在后向传递计算梯度时使用。这里的激活（activations）指的是：前向传递过程中计算得到的，并在后向传递过程中需要用到的所有张量。这里的激活不包含模型参数和优化器状态，但包含了dropout操作需要用到的mask矩阵。

在分析中间激活的显存占用时，只考虑激活占用显存的大头，忽略掉一些小的buffers。比如，对于layernormalization，计算梯度时需要用到层的输入、输入的均值 和方差 。输入包含了 个元素，而输入的均值和方差分别包含了 个元素。由于 通常是比较大的（千数量级），有  。因此，对于layernormalization，中间激活近似估计为  ，而不是 。

大模型在训练过程中通常采用混合精度训练，中间激活值一般是float16或者bfloat16数据类型的。在分析中间激活的显存占用时，假设中间激活值是以float16或bfloat16数据格式来保存的，每个元素占了2个bytes。唯一例外的是，dropout操作的mask矩阵，每个元素只占1个bytes。在下面的分析中，单位是bytes，而不是元素个数。

每个transformer层包含了一个self-attention块和MLP块，并分别对应了一个layer normalization连接。

先分析self-attention块的中间激活。self-attention块的计算公式如下：

1. 对于 ，需要保存它们共同的输入 ，这就是中间激活。输入 的形状为 ，元素个数为 ，占用显存大小为 。

2. 对于 矩阵乘法，需要保存中间激活 ，两个张量的形状都是 ，占用显存大小合计为 。

3. 对于函数，需要保存函数的输入  ，占用显存大小为 ，这里的 表示注意力头数。

 的形状为： 

 的形状为：

 的形状为：，元素个数为  ，占用显存大小为 。

4. 计算完函数后，会进行dropout操作。需要保存一个mask矩阵，mask矩阵的形状与 相同，占用显存大小为 。

5. 计算在 上的attention，即  ，需要保存 ，大小为 ；以及 ，大小为 。二者占用显存大小合计为 。

6. 计算输出映射以及一个dropout操作。输入映射需要保存其输入，大小为 ；dropout需要保存mask矩阵，大小为 。二者占用显存大小合计为 。

因此，将上述中间激活相加得到，self-attention块的中间激活占用显存大小为 。

接下来看MLP块的中间激活。MLP块的计算公式如下：

1. 第一个线性层需要保存其输入，占用显存大小为 。

2. 激活函数需要保存其输入，占用显存大小为 。

3. 第二个线性层需要保存其输入，占用显存大小为 。

4. 最后有一个dropout操作，需要保存mask矩阵，占用显存大小为 。

对于MLP块，需要保存的中间激活值为 。

另外，self-attention块和MLP块分别对应了一个layer normalization。每个layer norm需要保存其输入，大小为 。2个layer norm需要保存的中间激活为 。

综上，每个transformer层需要保存的中间激活占用显存大小为 。对于层transformer模型，还有embedding层、最后的输出层。embedding层不需要中间激活。总的而言，当隐藏维度 比较大，层数 较深时，这部分的中间激活是很少的，可以忽略。因此，对于 层transformer模型，中间激活占用的显存大小可以近似为。

4.1 对比中间激活与模型参数的显存大小

在一次训练迭代中，模型参数（或梯度）占用的显存大小只与模型参数量和参数数据类型有关，与输入数据的大小是没有关系的。优化器状态占用的显存大小也是一样，与优化器类型有关，与模型参数量有关，但与输入数据的大小无关。而中间激活值与输入数据的大小（批次大小 和序列长度 ）是成正相关的，随着批次大小 和序列长度的增大，中间激活占用的显存会同步增大。当我们训练神经网络遇到显存不足OOM（Out OfMemory）问题时，通常会尝试减小批次大小来避免显存不足的问题，这种方式减少的其实是中间激活占用的显存，而不是模型参数、梯度和优化器的显存。

以GPT3-175B为例，我们来直观地对比下模型参数与中间激活的显存大小。GPT3的模型配置如下。我们假设采用混合精度训练，模型参数和中间激活都采用float16数据类型，每个元素占2个bytes。

模型名	参数量	层数	隐藏维度	注意力头数
GPT3	175B	96	12288	96

GPT3的模型参数量为175B，占用的显存大小为。GPT3模型需要占用350GB的显存。

GPT3的序列长度 为 。对比不同的批次大小 占用的中间激活：

当 时，中间激活占用显存为，大约是模型参数显存的0.79倍。

当 时，中间激活占用显存为，大约是模型参数显存的50倍。

当 时，中间激活占用显存为

，大约是模型参数显存的101倍。

可以看到随着批次大小的增大，中间激活占用的显存远远超过了模型参数显存。通常会采用 激活重计算技术来减少中间激活，理论上可以将中间激活显存从 减少到，代价是增加了一次额外前向计算的时间，本质上是“时间换空间”。

5. KV cache

在推断阶段，transformer模型加速推断的一个常用策略就是使用 KV cache。一个典型的大模型生成式推断包含了两个阶段：

1.预填充阶段：输入一个prompt序列，为每个transformer层生成 key cache和value cache（KV cache）。

2.解码阶段：使用并更新KV cache，一个接一个地生成词，当前生成的词依赖于之前已经生成的词。

第 个transformer层的权重矩阵为。其中，self-attention块的4个权重矩阵 ，并且MLP块的2个权重矩阵 。

预填充阶段

假设第 个transformer层的输入为 ，self-attention块的key、value、query和output表示为，其中， 。

key cache和value cache的计算过程为：

第 个transformer层剩余的计算过程为：

解码阶段

给定当前生成词在第 个transformer层的向量表示为。推断计算分两部分：更新KV cache和计算第 个transformer层的输出。

更新key cache和value cache的计算过程如下：

第 个transformer层剩余的计算过程为：

5.1 KV cache的显存占用分析

假设输入序列的长度为 ，输出序列的长度为 ，以float16来保存KV cache，那么 KVcache的峰值显存占用大小为。这里第一个2表示K/V cache，第二个2表示float16占2个bytes。

以GPT3为例，对比KV cache与模型参数占用显存的大小。GPT3模型占用显存大小为350GB。假设批次大小 ，输入序列长度 ，输出序列长度 ，则KV cache占用显存为，大约是模型参数显存的0.5倍。

6. 总结

本文首先介绍了如何计算transformer模型的参数量，基于参数量可以进一步估计模型参数、梯度和优化器状态占用的显存大小。接着，本文估计了训练迭代中，在给定训练tokens数的情况下transformer模型的计算量，给予计算量和显卡性能可以进一步估计训练迭代的计算耗时。然后，本文分析了transformer模型前向计算过程中产生的中间激活值的显存大小，中间激活的显存大小与输入数据大小正相关，甚至会远超过模型参数占用的显存。最后，本文介绍了transformer模型推理过程常用的加速策略：使用KVcache。总的来说，分析transformer模型的参数量、计算量、中间激活和KV cache，有助于理解大模型训练和推断过程中的显存效率和计算效率。