滤波器基础：抗混叠

在数据采样系统中，高于二分之一采样率的频率成分“混叠”(搬移)到有用频带。大多数时间，混叠是有害的副作用，所以在模/数(AD)转换级之前，将“欠采样”的较高频率简单滤除。但有时候，特意设计利用欠采样，混叠使得AD系统作为混频器工作。 本应用笔记讨论数据采样系统的不同滤波要求，介绍混叠以及用于抗混叠的不同类型滤波器。 

滤波是一种我们往往视为当然的常见过程。我们在打电话时，接收器滤除其它所有信道，使我们仅仅接收到特定的信道。当我们调节立体声系统的均衡器时，利用带通滤波器选择性增大或降低特定频带的音频信号。 滤波器在几乎所有数据采样系统中扮演着重要角色。大多数模/数转换器(ADC)都安装有滤波器，滤除超出ADC范围的频率成分。有些ADC在其结构本身上就具有滤波功能。 我们接下来讨论数据采样系统、滤波要求以及与混叠的关系。 背景 数据采样系统能够高精度处理的最大频率成分称为其奈奎斯特极限。采样率必须大于或等于输入信号最高频率的两倍。如果违反该规则，在有用频带内就会出现多余或有害的信号，称之为“混叠”。 例如，为了数字化1kHz信号，要求最低采样率为2kHz。在实际应用中，采样率通常较高，以提供一定的裕量，降低滤波要求。 为帮助理解数据采样系统和混叠，我们以传统的电影摄影为例。 在西部老片中，当马车加速时，车轮正常加速转动，然后看起来车轮速度却变慢了，再然后似乎停止了。当马车进一步加速时，车轮看起来像在倒转。实际上，我们知道马车没有倒走，因为其它动作都一切正常。什么原因造成了这种现象？答案就是：帧速率不够高，不足以准确捕获车轮的转动。 为帮助理解，假设在马车车轮上贴一个看得到的标记，然后车轮转动。然后我们按时间拍摄照片(或采样)。由于电影摄影机通过每秒捕获一定数量的照片来捕获动作，所以本质上是数据采样系统。就像胶片采用车轮的离散图像一样，ADC捕获的是运动电信号的一系列快照。 当马车首次加速时，采样率(电影摄影机的帧速率)远远高于车轮的转速，所以满足奈奎斯特条件。摄像机的采样率高于车轮转速的两倍，所以能够准确描述车轮的运动，我们看到车轮加速的样子(图1a和1b)。 在奈奎斯特极限下，我们在180度范围内看到两个点(图1c)。人眼一般很难明确分辨这两个点的时间，这两个点同时出现，车轮表现为停止。在这种车轮转速下，转动速率是已知的(根据采样率)，但搞不清楚转动方向。当马车继续加速时，不再满足奈奎斯特条件，看到车轮的方式可能有两种：我们“看到”车轮在正转，其他人则看到是倒转(图1d)。 图1. 马车车轮的例子。 这两种方向都可以看做是正确的方向，取决于您如何“看”车轮，但我们知道已经发生了信号混叠。也就是说，系统中出现了有害的频率成分，我们不能将其与真实值区分开，同时出现了正转和倒转的运动信息。我们一般看到倒转成分或正转成分的“约数”或“镜像”。由于是眼/脑相结合的方式处理数据,因此我们并不能察觉到车轮前转的主要信息。另一种有意思的现象是采样率与车轮转速严格相等时，由于标记始终出现在车轮的相同位置，所以数据几乎没有提供有用信息。在这种情况下，没有人能清楚车轮在转动还是静止。 现在转入数学领域，假设车轮为单位圆，采用正弦和余弦坐标。如果在余弦值的正向和负向峰值采样(180度错相)，那么就满足奈奎斯特条件，能够利用两个采样数据点重构原始余弦值。所以，奈奎斯特极限是重构原始信号的关键。当增加的点越来越多时，复现原始信号的能力就提高了。 转到频域，图2所示为采样数据系统的频率响应。注意，数据在采样率的倍数处重复(原始信号的“镜像”)；这是采样数据系统的一种基本特征。图2a中，满足奈奎斯特条件，有用频带内没有混叠现象。然而，在图2b中，由于有用频带内的最高频率大于二分之一采样率，不再满足奈奎斯特条件。重叠的区域发生了混叠；频率为fT的信号也出现在fT'处，与马车车轮的混叠相似。 图2a. 采样数据系统频率响应，无混叠。 图2b. 采样数据系统频率响应，发生混叠。 欠采样 欠采样是一种功能强大的工具，可有效用于所选应用。欠采样允许ADC作为一个混频器，能够接收调制高频载波信号并产生较低频率的镜像。这种方式下，就像下变频器。另一种主要优点是允许ADC的采样率低于奈奎斯特频率，一般具有较明显的成本优势。例如，假设调制载波为10MHz，带宽为100kHz (±50kHz，中心频率为10MHz)。以4MHz进行欠采样，产生1阶和与差项(f1 + f2和f1 - f2)，分别为14MHz和6Mz；2阶项(2f1、2f2、2f1 + f2、f1 + 2f2、| 2f1 - f2 |、| f1 - 2f2 |)，分别为8MHz、20MHz、18MHz、2MHz、24MHz和16MHz。出现在2MHz处的镜像信号为有用信号。注意，我们的原始信号在10MHz，通过对其进行数字化在2MHz产生了镜像。现在，我们可以在数字域进行信号处理(滤波和混频)，恢复原始50kHz信号。该过程无需大幅的模拟处理，这是其主要优势之一。由于所有处理都在数字域完成，如果需要对电路的性能和特性进行更改，只需修改软件即可。相对而言，对于模拟设计，如果需要更改电路性能，需要改变电路硬件元件和布局，并且成本相当高。 欠采样的一项缺点是有用频带内可能出现有害信号，您不能将其与有用信号区分开。此外，欠采样时，ADC输入的频率范围往往非常宽。在上例中，即使采样率为4MHz，ADC前端仍然必须采样10MHz信号。相对而言，如果在ADC之前利用模拟混频器将调制载波信号向下搬移到基带，那么ADC的输入带宽只需要为50kHz，而非4MHz，降低了ADC前端和输入滤波要求。 图3a. 欠采样示例。 图3b. 欠采样数字化的镜像信号(1阶和2阶)。 过采样 过采样提供所谓的处理增益。在过采样时，以较高采样频率获得多出实际需要的采样数量，然后对数据滤波，从而有效降低系统的噪底(假设噪声为宽带白噪声)。这不同于平均，后者是获取很多采样，噪声被平均。可以这么理解过采样：如果输入信号来自于扫描频率的信号源，频谱则可以分为多个范围或“容器”，每个容器的带宽固定。宽带噪声分散在整个有用频率范围内，所以每个容器具有特定量的噪声。现在，如果提高采样率，那么频率容器的数量也增多。在这种情况下，出现的噪声量仍相同，但我们有更多的容器可供容纳噪声。然后我们利用滤波器滤除超出有用频带的噪声。结果就是每个容器的噪声减少，所以就通过过采样有效降低了系统的噪底。 举例说明，如果我们有一个2ksps ADC (下式中使用1kHz奈奎斯特极限)和1kHz信号，ADC之后为1kHz数字滤波器，处理增益由下式给出：-10 × log (1kHz/1kHz) = 0dB。如果们将采样率增大至10ksps，处理增益现在为-10 × log (1kHz/5kHz) = 7dB，或者说大约1位分辨率(1位大约相当于信噪比(SNR)提高6dB)。通过过采样，噪声没有减少，而是分散在更宽的带宽内；将部分噪声置于有用带宽范围之外，效果就相当于减少了噪声。这种噪声改善基于以下公式： SNR改善(dB) = 10 × LOGA/B，其中A等于噪声，B等于过采样噪声。 表述这一过程的另一种方式是：过采样降低了带内RMS量化噪声，系数为过采样率的平方根。或者，如果噪声降低二分之一，则相当于3dB有效处理增益。不要忘了，我们这里仅讨论了宽带噪声。过采样不能简单消除其它噪声源和其他误差。 抗混叠滤波器 有了以上背景知识后，我们现在讨论抗混叠滤波器。在选择滤波器时，目标是提供一个截止频率，能从ADC输入中消除有害信号或至少将其衰减至不对电路形成负面影响。抗混叠滤波器是满足这一要求的低通滤波器。如何选择正确的滤波器？需要考虑的关键参数是在通带内的衰减量(或纹波)、阻带内的预期滤波器滚降、过渡区域的陡度，以及不同频率通过滤波器时的相位关系(图4a)。 图4a. 实际滤波器。 理想滤波器具有“砖墙”响应(图4b)，也就是说其过渡比是无限大的。然而，在实际应用中不可能存在这种情况。滚降越陡，滤波器的“Q”或品质因子越高；Q因子越高，滤波器的设计就越复杂。较高的Q因子会造成滤波器不稳定以及在相应的拐点频率下自振。选择滤波器的关键是了解干扰信号的频率及对应幅值。例如，对于手机，设计者知道邻近信号的最差工作条件幅值和位置，从而有针对性地进行设计。并不是所有信号都能在频域预测，甚至有些已知干扰信号太大，不能足够地衰减。但是，根据环境和应用，您可考虑已知干扰和设计，最大程度降低随机干扰，确保工作更可靠。 图4b. 理想滤波器。 已知有用信号频率后，利用简单的滤波程序确定所需的滤波器结构，以满足通带、阻带和过渡区域要求。在四种基本滤波器类型中，每种都有其各自的优势(图5)。 图5. 四种基本的滤波器类型 例如，巴特沃斯(Butterworth)滤波器的通带区域最平坦，意味着在相应频率范围内的衰减最小；贝塞尔(Bessel)滤波器的滚降较平缓，但其主要优势是线性相位响应，意味着每种频率成分在通过滤波器时的延时是相等的；由于群延迟定义为相位响应相对于频率的偏差，所以线性相位响应通常指的是固定群延迟。切比雪夫(Chebyshev)滤波器的滚降较陡，但在通带内纹波较大。椭圆(Elliptic)滤波器的滚降最陡。对于最简单的抗混叠滤波器，简单的单极点无源RC滤波器往往是可以接受的。在其它情况下，有源滤波器(即使用运放)比较合适。有源滤波器的一项优势是多阶滤波器，滤波器对外部元件值不太敏感，特别是滤波器的“Q”值。 抗混叠滤波器通常不必严格对应拐点频率的位置，所以设计时具有一定余地。例如，如果您需要最大平坦度，但在通带内仍然有太大衰减，只需将拐点频率移远即可解决问题。如果阻带衰减太小，则可提高滤波器的极点数。另一种方案是在滤波后将信号放大，提高信号相对于有害信号的幅值。 Maxim具有多种低功耗、低通滤波器可供选择，可用于抗混叠；其中包括MAX7490通用开关电容滤波器、MAX740x/MAX741x家族尺寸最小的低功耗低通开关电容滤波器，以及MAX274/MAX275通用连续时间方式滤波器。Maxim也提供丰富的低功耗高精度运放，适用于希望自己设计滤波器的用户。对于这些用户，强烈推荐在设计过程中参考好的滤波器手册。