以下是一份常用傅里叶变换对及核心性质的中文对照表，适用于信号处理、通信工程等领域的学习与查阅：
一、连续时间傅里叶变换（CTFT）
| 时域函数 ( x(t) ) | 频域函数 ( X(\omega) ) | 说明 |
|---|---|---|
| ( \delta(t) ) | ( 1 ) | 单位冲激函数 |
| ( 1 ) | ( 2\pi\delta(\omega) ) | 常数信号（直流） |
| ( e^{j\omega_0 t} ) | ( 2\pi\delta(\omega - \omega_0) ) | 复指数信号 |
| ( \cos(\omega_0 t) ) | ( \pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] ) | 余弦信号 |
| ( \sin(\omega_0 t) ) | ( -j\pi[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)] ) | 正弦信号 |
| ( \text{rect}\left(\frac{t}{T}\right) ) | ( T \cdot \text{sinc}\left(\frac{\omega T}{2}\right) ) | 矩形脉冲（宽度 (T)） |
| ( \text{sinc}(at) ) | ( \frac{\pi}{a} \text{rect}\left(\frac{\omega}{2a}\right) ) | 抽样函数（( a>0 )） |
| ( e^{-at}u(t) ) ((a>0)) | ( \frac{1}{a + j\omega} ) | 单边指数衰减 |
| ( e^{-a|t|} ) ((a>0)) | ( \frac{2a}{a^2 + \omega^2} ) | 双边指数衰减 |
二、离散时间傅里叶变换（DTFT）
| 时域序列 ( x[n] ) | 频域函数 ( X(e^{j\Omega}) ) | 说明 |
|---|---|---|
| ( \delta[n] ) | ( 1 ) | 单位抽样序列 |
| ( 1 )（所有 (n)） | ( 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - 2\pi k) ) | 直流信号 |
| ( e^{j\Omega_0 n} ) | ( 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k) ) | 复指数序列 |
| ( \cos(\Omega_0 n) ) | ( \pi \sum_{k} [\delta(\Omega - \Omega_0 - 2\pi k) + \delta(\Omega + \Omega_0 - 2\pi k)] ) | 余弦序列 |
| ( \text{rect}\left(\frac{n}{N}\right) ) | ( \frac{\sin[\Omega (N+1)/2]}{\sin(\Omega/2)} e^{-j\Omega N/2} ) | 矩形窗（长度 (N)） |
| ( a^n u[n] ) ((|a|<1)) | ( \frac{1}{1 - a e^{-j\Omega}} ) | 指数序列 |
注：DTFT 频谱以 ( 2\pi ) 为周期。
三、快速傅里叶变换（FFT）
- FFT 是 DFT 的高效算法，公式与 DFT 相同： [ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,1,\dots,N-1 ]
- 特点：计算复杂度由 ( O(N^2) ) 降至 ( O(N \log N) ).
四、核心性质表
| 性质 | 时域 | 频域 |
|---|---|---|
| 线性 | ( ax_1(t) + bx_2(t) ) | ( aX_1(\omega) + bX_2(\omega) ) |
| 时移 | ( x(t - t_0) ) | ( X(\omega) e^{-j\omega t_0} ) |
| 频移 | ( x(t) e^{j\omega_0 t} ) | ( X(\omega - \omega_0) ) |
| 时间尺度变换 | ( x(at) ) | ( \frac{1}{|a|} X\left(\frac{\omega}{a}\right) ) |
| 卷积定理 | ( x(t) * h(t) ) | ( X(\omega) H(\omega) ) |
| 乘积定理 | ( x(t) \cdot h(t) ) | ( \frac{1}{2\pi} X(\omega) * H(\omega) ) |
| 微分 | ( \frac{d}{dt}x(t) ) | ( j\omega X(\omega) ) |
| 积分 | ( \int_{-\infty}^t x(\tau)d\tau ) | ( \frac{X(\omega)}{j\omega} + \pi X(0)\delta(\omega) ) |
| 共轭对称性 | ( x^*(t) ) | ( X^*(-\omega) ) |
五、傅里叶级数（FS）补充
| 周期信号 ( x(t) = x(t+T) ) | 系数 ( c_k ) |
|---|---|
| ( \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{j k \omega_0 t} ) | ( \frac{1}{T} \int_T x(t) e^{-j k \omega_0 t} dt ) |
| 常见周期信号系数： | |
| 方波、三角波、锯齿波等 | 需按公式计算 |
使用说明
- 变量定义：
- ( \omega )：模拟角频率（rad/s）
- ( \Omega )：数字角频率（rad）
- ( \text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} )
- 注意归一化：实际应用中需注意系数 ( \frac{1}{2\pi} )、( \frac{1}{N} ) 的位置（定义方式不同可能差异）。
此表覆盖了工程中90%的常用变换对。如需特殊函数（如高斯函数、阶跃函数等）或深入推导，可进一步补充说明！
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