用双线性变换法设计IIR滤波器

用双线性变换法设计IIR滤波器
一、实验目的
1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。
2、掌握双线性变换法设计IIR滤波器的原理及具体设计方法，熟悉用双线性设计法设计低通、带通和高通IIR数字滤波器的计算机程序。
3、观察用双线性变换法设计的滤波器的频域特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。
4、熟悉用双线性变换法设计数字Butterworth和Chebyshev滤波器的全过程。
5、了解多项式乘积和多项式乘方运算的计算机编程方法。
二、实验原理与方法
从模拟滤波器设计IIR数字滤波器具有四种方法：微分-差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配z变换法；在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。脉冲响应不变法需要经历如下基本步骤：由已知系统传输函数H(s)计算系统冲激响应h(t)；对h(t)进行等间隔取样得到h(n)=h(nT)；由h(n)获得数字滤波器的系统响应H(z)。这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的IIR滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲激响应在采样点上完全一致。而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。
脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换是线性的（ω=ΩT），其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混淆，提出了双线性变换法，它依靠双线性变换式：建立起s平面和z平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系：
)2/(ωtg=Ω Ω=arctg2ω （3-1）
由上面的关系式可知，当Ω时，ω终止在折叠频率ω=π处，整个jΩ轴单值地对应于单位圆的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。从式（2-1）还可以看出，两者的频率不是线性关系。这种非线性关系使得通带截止频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。这种频率的畸变可以通过预畸来教正。用双线性变换法设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经过式（2-1）的频率预畸，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递参数，最后通过双线性变换式求得数字滤波器的传递函数。这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。参考模拟滤波器的设计，可以按照一般模拟滤波器设计的方法，利用已经成熟的一整套计算公式和大量的归一化设计表格和曲线。这些公式、表格主要是用如果于归一化低通原型的。通过原型变换，可以完成实际的低通、带同和高同滤波器的设计。在用双线性变换法设计滤波器的过程中，我们也可以通过原型变换，直接求得归一化参考模拟滤波器原型参数，从而使得设计更加简化。下表是IIR低通、带通、高通滤波器设计双线性原型变换公式的总结。