浅析curvelet变换原理与理解

　　Curvelet变换是基于傅里叶变换和小波变换的一种改进，其特点是有高度的各向异性，具有良好表达图形沿边缘的信息的能力，对于恢复形状的沿边缘的主要结构和抑制周边噪声有其特有优势。

　　其过程为

　　

　　这和传统的DFT及小波变换的处理过程类似，把图表中的curvelet换成DFT和wavelet就可以了。

　　Curvelet变换是最近图像处理较新的一种多尺度几何变换算法。其发展历程在短短十年间：

　　1999年，Candès和Donoho在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换——第一代Curvelet变换中的Curvelet99。

　　2002年，Strack、Candès和Donoho提出了第一代Curvelet变换中的Curvelet02。

　　2002年，Candès等人提出了第二代Curvelet变换。

　　2005年，Candès提出了两种基于第二代Curvelet变换理论的快速离散实现方法：

　　1）非均匀空间抽样的二维FFT算法（Unequally-Spaced Fast Fourier Transform，USFFT）；

　　2）Wrap算法（Wrapping-Based Transform）

　　与小波变换类似，Curvelet变换同样有其对应公式。Curvelet系数可由下式得到，即信号与小波函数内积：

　

　　这里j表示尺度，l表示方向，k表示位移。变换的推导以及原理是个十分复杂的过程，这需要有相当强的数学功底。

　　Curvelet变换原理

　　Curvelet 变换通过对Radon 域内的每一个投影轴作一维小波分析，并由局部脊波分析得到多尺度结构。设参量θ是常数，平移量1是变量，脊波系数R，（a，b，θ）为

　

　　

　　然后对每个分块用式（1，2）进行脊波分析。上面每步均可逆，经过逆变换可得重建图像。

　　通过Radon域的多角度投影，Curvelet变换明显加强了目标边界。同时由于Curvelet变换是多尺度脊波变换的子集，它可以用投影切片定理来实现：一幅n×n的图像可表达成2n条径向线的积分结果，对每条线的投影数据计算一维小波变换，就得到脊波系数。这样的Curvelet变换冗余因子达到16J+1。由于经典算法中分块的径向抽样角度恒定，直角坐标与极坐标的转换将导致在同一块内数据的非均匀抽样，当块中心附近的抽样值满足奈奎斯特抽样定理要求时，在块的边界部分将出现欠抽样;而当块边界部分满足抽样定理要求时，块中心部分数据将会过抽样，而且块的尺寸越大，非均匀抽样的影响就越明显。因此，在原算法中尽管离散Curvelet变换的实现较简单，但是为了无失真地重构图像，保证块边界周围的抽样值足够多，它在块的中心部分实施了过抽样，因此耗时和冗余度也相应增大。