详解九章算法 作者:杨辉

1261年,中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。

杨辉最重要的著作是《详解九章算法》．为了使《九章算术》便于自学，杨辉对该书的246个问题中较难的80题作了详解，并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷．“详解”包括三个方面：一是“解题”，即解释题意、名词术语，校勘文字，并对题目作出评注；二是“细草”，即详细的解题过程及必要的图示；三是“比类”，即增选与原题算法相同或类似的例题进行对照分析．“纂类”是把《九章算术》中的全部问题按解题方法由浅入深的顺序重新整理分类． 　 　　在《详解九章算法》中载有一张珍贵的图形——“开方作法本源”图(图2-7)．根据杨辉自注，此图“出《释锁算书》，贾宪用此术”．就是说，这张图是贾宪(11世纪)创造的，原载于《释锁算书》(已失传)中，这张图实际上是一个二项式展开式的系数表，它包括了0次到6次二项式的全部系数．这些展开式用现代数学符号表示就是： (a+b)0=1 (a+b)1＝a＋b (a＋b)2=a2+2ab+b2 (a＋b)3=a3+3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b＋10a3b2＋10a2b3+5ab4＋b5 (a＋b)6=a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6 　　表中的系数具有一定规律，每一行比上一行多一个数，每行除左右两个“一”外，每个数都是其“肩”上两个数之和． 　　因此这个表可以这样继续往下造．后来，元朝的朱世杰把它扩展为“古法七乘方图”(图2-8)，载于《四元玉鉴》一书中． 　　贾宪制作这张表进行开方运算，因其形似三角形，因此我们称之为“贾宪三角形”．欧洲人一般称它为“帕斯卡三角形”，认为是法国科学家帕斯卡(B．Pascal，1623～1662)首创的．近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，有些数学史书上开始称它为“中国三角形”(Chinese triangle)了． 　　杨辉在数学教育方面也有重要贡献．他特别重视数学的普及教育，亲手编写了多种教材并制定出详细的教学计划．在教学安排上，他强调由浅入深，循序渐进．在《乘除通变本末》一书中，他为初学者制订了“习算纲目”，列出了学习内容，先后顺序及进度安排等，这是中国数学教育史上的一个重要文献． 　 　　杨辉很注意数学在实际中的应用．他在《日用算法》中提出：“以乘除加减为法，称斗尺田为问；用法必载源流，命题须责实有”．要求数学教学的内容必须联系实际，应以社会实践中提出的计算问题为主．这正是中国古代数学的优良传统之一． 　　在教学方法方面，杨辉注意深入浅出，直观形象，他很注意讲清题意，在《详解九章算法》中加了“解题”一项，要学习者“全要认题之主意”，避免误解题意而出错．在该书中还特意增加了一卷图形，有些题目既有“题图”，又有“法图”，直观形象，让人一目了然．另一方面，他又注重引导与启发，他说：“好学君子自动触类而考，何必尽传”． 　　在学习方法上，他提倡熟读精思，融会贯通．他主张学习要在广博的基础上深入，对各种算法应分门别类地仔细钻研，消化理解并广泛熟悉它们的各种应用，反对死记硬背． 　　对于培养计算能力，杨辉很强调要“多练”．每个学习单元他都规定要完成一定数量的练习，认为这样可以“庶久而无失念”．他对做练习与学习数学基础知识的关系有独到的见解：“夫学算者题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题”．他还要求习题应具典型性，起到“举一(例)而三隅反”的作用． 　　杨辉治学严谨，在教学上一丝不苟．他对学习中的细小环节也不放过，特别是容易忽视或出错之处，他在书中都反复强调，并列为学习的重点． 　　作为我国古代卓越的数学教育家，杨辉提出的这些教育原则和主张至今仍有积极意义．