绘制根轨迹的数学依据及其性质

绘制根轨迹的数学依据及其性质

4.2.1.的二种表达式 ⒈系统方块图：如图4-3 所示。 图4-3 2.: 注： (1)．………开环放大系数,增益,传递系数。 ……时间常数。 ………开环零极点形式的传递系数。 ……开环零点、极点的负值。 (2).与与关系： 4.2.2 特征方程D(s)=0 的几种表达形式： ⒈.闭环传递函数的几种形式： ⑴. ⑵. ⒉" " 的几种形式： ⑴. ⑵. ⑶. ⑷. ⑸.(k=0,1,2,3,……) ⑹. 4.2.3绘制根迹的数学依据： ⒈. 幅角条件,幅值条件--幅相条件: ⑴.所谓幅角条件(相角条件): ①.(k=0,1,2,3,……) （4-1） ②. 幅角条件是绘制根迹的根本依据 --根平面上凡是满足幅角条件的点的全体就是根迹。 ③.可利用幅角条件画根迹。 ⑵.所谓幅值条件: ①.(4-2) ②.根迹上凡是满足幅值条件的点,就是相应K值的闭环极点sb,即的根。 ③.可利用幅值条件确定相应于sb的K。 ⑶. 幅角条件与幅值条件不同点: ①幅角条件与K无关。 ②.据幅值条件可知,幅值改变，相应于K在改变。 ⑷.例 仍以图4-1所示的系统为例,用幅角条件来求 由0→+∞变化时根轨迹,并用幅值条件确定使闭环系统的一对共轭复数极点的阻尼比ξ等于0.707时的K值。 对于上述给定系统,其幅角条件为： (k=0,1,2,3,……) 其幅值条件为： 综上可知,在作根轨迹图时,只需应用幅角条件,即可画出根的轨迹,然后利用幅值条件可求出根轨迹上某一点的相应的K值。因为在图纸上绘制根轨迹的过程中,需要对幅角和幅值进行图解测量,故必须将横坐标轴与纵坐标轴按同样的尺度进行等分。 ⒉.绘制根轨迹步骤如下: ⑴.在S平面上画出开环极点: 有两个开环极点，以×表示。 见图4-4。 图4-4 ⑵.确定实轴上的根轨迹: 如果试验点位于正实轴上，则这表明不满足幅角条件。因此，在正实轴上没有根轨迹。 若将试验点选在负实轴上,之间。 这时因此 即满足幅角条件。 因此, 在负实轴上之间这一段是根轨迹一部分。 如果把试验点选在负实轴上之间。这时 此显然不满足幅角条件。故在负实轴上从之间这一段,不是根轨迹一部分。 综上,实轴上的根轨迹，存在于负实轴上之间。 ⑶.确定S平面上,除了实轴以外的其它根轨迹: 在S平面上任取一点 (见图4-4),令╱s =Λ1, ╱s+p =Λ2 。如果 位于根轨迹上，则应满足幅角条件，即Λ1＋Λ2＝180L。显然，只有位于坐标原点之间线段的垂直平分线上的点,才能满足幅角条件，因此S平面上,该垂直平分线也是根轨迹的一部分。 综上所述，根据幅角条件求得并画出当K由0→+∞变化时根轨迹与图 4-2按公式直接计算根的值所画出的根轨迹是完全一样的，且前者不受系统方程阶次的限制，明显优于后者。 ⑷.确定一对阻尼比ξ为0.707的共轭复数闭环极点: 这对闭环极点，位于通过原点且与负实轴夹角为 的直线上.由图可以求出,当ξ=0.707时, 这一对闭环极点为 与这对极点相应的 值,可用幅值条件确定为