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AVL 树和普通的二叉查找树的详细区别分析

TheAlgorithm 2018-01-15 14:36 次阅读

背景

AVL 树是一棵平衡的二叉查找树,于 1962 年,G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在他们的论文《An algorithm for the organization of information》中发表。

所谓的平衡之意,就是树中任意一个结点下左右两个子树的高度差不超过 1。(本文对于树的高度约定为:空结点高度是 0,叶子结点高度是 1。)

那 AVL 树和普通的二叉查找树有何区别呢?如图,如果我们插入的是一组有序上升或下降的数据,则一棵普通的二叉查找树必然会退化成一个单链表,其查找效率就降为 O(n)。而 AVL 树因其平衡的限制,可以始终保持 O(logn) 的时间复杂度。

具体实现与代码分析

在我们进行完插入或删除操作后,很可能会导致某个结点失去平衡,那么我们就需要把失衡结点旋转一下,使其重新恢复平衡。

经过分析,不管是插入还是删除,它们都会有四种失衡的情况:左左失衡,右右失衡,左右失衡,右左失衡。因此每次遇到失衡时,我们只需判断一下是哪个失衡,再对其进行相对应的恢复平衡操作即可。

好,下面以插入操作为例,来看下这四种失衡的庐山真面目。(以下统一约定:红色结点为新插入结点,y 结点为失衡结点)

(1)左左失衡

 AVL 树和普通的二叉查找树的详细区别分析

所谓的左左,即 "失衡结点" 的左子树比右子树高 2,左孩子下的左子树比右子树高 1。

我们只需对 "以 y 为根的子树" 进行 "左左旋转 (ll_rotate)" 即可。一次旋转后,恢复平衡。

Node * AVL::ll_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = x->right;

x->right = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

(2)右右失衡

所谓的右右,即 "失衡结点" 的右子树比左子树高 2,右孩子下的右子树比左子树高 1。

我们只需对 "以 y 为根的子树" 进行 "右右旋转 (rr_rotate)" 即可。一次旋转后,恢复平衡。

Node * AVL::rr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = x->left;

x->left = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

(3)左右失衡

 AVL 树和普通的二叉查找树的详细区别分析

所谓的左右,即 "失衡结点" 的左子树比右子树高 2,左孩子下的右子树比左子树高 1。

观察发现,若先对 "以 x 为根的子树" 进行 "右右旋转 (rr_rotate)",此时 "以 y 为根的子树" 恰好符合 "左左失衡",所以再进行一次 "左左旋转 (ll_rotate)"。两次旋转后,恢复平衡。

Node * AVL::lr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = rr_rotate(x);

return ll_rotate(y);

}

(4)右左失衡

 AVL 树和普通的二叉查找树的详细区别分析

所谓的右左,即 "失衡结点" 的右子树比左子树高 2,右孩子下的左子树比右子树高 1。

观察发现,若先对 "以 x 为根的子树" 进行 "左左旋转 (ll_rotate)",此时 "以 y 为根的子树" 恰好符合 "右右失衡",所以再进行一次 "右右旋转 (rr_rotate)"。两次旋转后,恢复平衡。

Node * AVL::rl_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = ll_rotate(x);

return rr_rotate(y);

}

插入操作

插入成功后,在递归回溯时依次对经过的结点判断是否失衡,若失衡就需要对其进行对应的旋转操作使其恢复平衡,在这期间,原先作为一棵子树的根结点就会因为旋转被替换,因此设置insert_real( )返回的是新根结点,这样就可以实时更新根结点。

插入操作实现代码如下:

int AVL::get_height(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return node->height;

}

int AVL::get_balance(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return get_height(node->left) - get_height(node->right);

}

Node * AVL::insert_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return new Node(key);

if (key < node->key)

node->left = insert_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = insert_real(key, node->right);

else

return node;

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) > 0)

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) < 0)

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::insert(int key)

{

header->left = insert_real(key, header->left);

}

查找操作

Node * AVL::find_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return nullptr;

if (key < node->key)

return find_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

return find_real(key, node->right);

else

return node;

}

Node * AVL::find(int key)

{

return find_real(key, header->left);

}

删除操作

删除操作的四种失衡情况和插入操作一样,读者可以参考前文。下面是删除操作的实现代码:

Node * AVL::erase_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return node;

if (key < node->key)

node->left = erase_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = erase_real(key, node->right);

else

{

if (node->left && node->right)

{

// 找到后继结点

Node * x = node->right;

while (x->left)

x = x->left;

// 后继直接复制

node->key = x->key;

// 转化为删除后继

node->right = erase_real(x->key, node->right);

}

else

{

Node * t = node;

node = node->left ? node->left : node->right;

delete t;

if (node == nullptr)

return nullptr;

}

}

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) >= 0) // 需要加等号

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) <= 0) // 需要加等号

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::erase(int key)

{

header->left = erase_real(key, header->left);

}

完整代码

/**

*

* author : 刘毅(Limer)

* date : 2017-08-17

* mode : C++++

*/

#include

#include

using namespace std;

struct Node

{

int key;

int height;

Node * left;

Node * right;

Node(int key = 0)

{

this->key = key;

this->height = 1;

this->left = this->right = nullptr;

}

};

class AVL

{

private:

Node * header;

private:

Node * ll_rotate(Node * y);

Node * rr_rotate(Node * y);

Node * lr_rotate(Node * y);

Node * rl_rotate(Node * y);

void destroy(Node * node);

int get_height(Node * node);

int get_balance(Node * node);

Node * insert_real(int key, Node * node);

Node * find_real(int key, Node * node);

Node * erase_real(int key, Node * node);

void in_order(Node * node);

public:

AVL();

~AVL();

void insert(int key);

Node * find(int key);

void erase(int key);

void print();

};

Node * AVL::ll_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = x->right;

x->right = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

Node * AVL::rr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = x->left;

x->left = y;

y->height = max(get_height(y->left), get_height(y->right)) + 1;

x->height = max(get_height(x->left), get_height(x->right)) + 1;

return x;

}

Node * AVL::lr_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->left;

y->left = rr_rotate(x);

return ll_rotate(y);

}

Node * AVL::rl_rotate(Node * y)

{

Node * x = y->right;

y->right = ll_rotate(x);

return rr_rotate(y);

}

void AVL::destroy(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return;

destroy(node->left);

destroy(node->right);

delete node;

}

int AVL::get_height(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return node->height;

}

int AVL::get_balance(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return 0;

return get_height(node->left) - get_height(node->right);

}

Node * AVL::insert_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return new Node(key);

if (key < node->key)

node->left = insert_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = insert_real(key, node->right);

else

return node;

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) > 0)

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) < 0)

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

Node * AVL::find_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return nullptr;

if (key < node->key)

return find_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

return find_real(key, node->right);

else

return node;

}

Node * AVL::erase_real(int key, Node * node)

{

if (node == nullptr)

return node;

if (key < node->key)

node->left = erase_real(key, node->left);

else if (key > node->key)

node->right = erase_real(key, node->right);

else

{

if (node->left && node->right)

{

// 找到后继结点

Node * x = node->right;

while (x->left)

x = x->left;

// 后继直接复制

node->key = x->key;

// 转化为删除后继

node->right = erase_real(x->key, node->right);

}

else

{

Node * t = node;

node = node->left ? node->left : node->right;

delete t;

if (node == nullptr)

return nullptr;

}

}

node->height = max(get_height(node->left), get_height(node->right)) + 1;

int balance = get_balance(node);

// 左左失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) >= 0) // 需要加等号

return ll_rotate(node);

// 右右失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) <= 0) // 需要加等号

return rr_rotate(node);

// 左右失衡

if (balance > 1 && get_balance(node->left) < 0)

return lr_rotate(node);

// 右左失衡

if (balance < -1 && get_balance(node->right) > 0)

return rl_rotate(node);

return node;

}

void AVL::in_order(Node * node)

{

if (node == nullptr)

return;

in_order(node->left);

cout << node->key << " ";

in_order(node->right);

}

AVL::AVL()

{

header = new Node(0);

}

AVL::~AVL()

{

destroy(header->left);

delete header;

header = nullptr;

}

void AVL::insert(int key)

{

header->left = insert_real(key, header->left);

}

Node * AVL::find(int key)

{

return find_real(key, header->left);

}

void AVL::erase(int key)

{

header->left = erase_real(key, header->left);

}

void AVL::print()

{

in_order(header->left);

cout << endl;

}

int main()

{

AVL avl;

// test "insert"

avl.insert(7);

avl.insert(2);

avl.insert(1); avl.insert(1);

avl.insert(5);

avl.insert(3);

avl.insert(6);

avl.insert(4);

avl.insert(9);

avl.insert(8);

avl.insert(11); avl.insert(11);

avl.insert(10);

avl.insert(12);

avl.print(); // 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

// test "find"

Node * p = nullptr;

cout << ((p = avl.find(2)) ? p->key : -1) << endl;   //  2

cout << ((p = avl.find(100)) ? p->key : -1) << endl; // -1

// test "erase"

avl.erase(1);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

avl.erase(9);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12

avl.erase(11);

avl.print(); // 2 3 4 5 6 7 8 10 12

return 0;

}

起初构造的 AVL 树为下图:

总结

和二叉查找树相比,AVL 树的特点是时间复杂度更稳定,但缺点也是很明显的。

插入操作中,至多需要一次恢复平衡操作,递归回溯的量级为 O(logn)。有一点需要我们注意,在对第一个失衡结点进行恢复平衡后,递归回溯就应该立即停止(因为失衡结点的父亲及其祖先们肯定都是处于平衡状态的)。

但让 "递归的回溯" 中途停止,不好实现,所以我上面的编码程序都不可避免的会继续回溯,直到整棵树的根结点,而这些回溯都是没有必要的。(谢谢 LLL 的提醒,若在结点中增设父亲结点,就可以解决递归回溯的问题)

删除操作中,若存在失衡,则至少需要一次恢复平衡操作,递归回溯的量级亦为 O(logn)。与插入操作不同,当对第一个失衡结点恢复平衡后,它的父亲或者是它的祖先们也可能是非平衡的(见下图,删除 1),所以删除操作的回溯很有必要。

没有参照物对比的探讨是没有意义的,所以此文就止于此吧,有兴趣的朋友可以看下我后面《红黑树》及《AVL 树与红黑树的对比》的文章。

原文标题:一文读懂 AVL 树

文章出处:【微信号:TheAlgorithm,微信公众号:算法与数据结构】欢迎添加关注!文章转载请注明出处。

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    对于一种数据结构而言,遍历是常见操作。二叉树是一种基本的数据结构,是一种每个节点的儿子数目都不多于2....
    的头像 人工智能爱好者社区 发表于 04-27 17:23 3816次 阅读
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    B-Tree与二叉查找树的对比

    从前面分析情况来看,减少磁盘IO的次数就必须要压缩树的高度,让瘦高的树尽量变成矮胖的树,所以B-Tr....
    的头像 Linux阅码场 发表于 04-15 10:54 7691次 阅读
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    关于二叉树一些数据结构和算法相关的题目

    最近总结了一些数据结构和算法相关的题目,这是第一篇文章,关于二叉树的。
    的头像 算法与数据结构 发表于 02-07 13:57 2440次 阅读

    一文详解红黑树

    红黑树是一种自平衡的二叉查找树,是一种高效的查找树。它是由 Rudolf Bayer 于1972年发....
    的头像 算法与数据结构 发表于 02-02 17:25 3484次 阅读
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    熵的二叉树多类支持向量机的漏洞分类

    为了有效提高漏洞分类的准确性,针对基于二叉树多类支持向量机分类算法的分类复杂性和分类结果依赖二叉树的....
    发表于 01-25 10:40 633次 阅读

    AVL树统一重平衡方法

    针对传统AVL( Adelson-Velskii and Landis)树重平衡算法代码量大、流程复....
    发表于 01-14 11:13 659次 阅读

    基于二叉树的多用户ORAM改进方案

    随着大数据及数据挖掘技术的发展,云计算环境中用户访问模式成为泄露用户隐私的一条途径.不经意随机存取技....
    发表于 01-13 11:05 405次 阅读

    基于二叉树的算术编码二值化方法

    在算术编码研究中,待编码的语法元素需要采用何种二值化方法以及二值化后每个比特的概率模型选择是算术编码....
    发表于 01-03 16:53 465次 阅读

    基于二叉树的电子系统故障诊断专家系统

    在分析专家系统发展及其在电子系统故障诊断中应用状况的基础上,针对当前装甲装备电子系统故障诊断中先进的....
    发表于 12-13 14:51 515次 阅读
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    二叉树层次遍历算法的验证

    实现二叉树的层次遍历算法,并对用”A(B(D,E(H(J,K(L,M(,N))))),C(F,G(,....
    发表于 11-28 01:05 1319次 阅读
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    二叉树的前序遍历、中序遍历、后续遍历的非递归实现

    前序遍历:先访问该节点,然后访问该节点的左子树和右子树; 中序遍历:先访问该节点的左子树,然后访问....
    发表于 11-27 11:24 734次 阅读

    二叉树基本操作课程设计

    课程设计
    发表于 10-12 08:50 404次 阅读

    二叉树实验报告_数据结构

    发表于 06-25 16:19 498次 阅读

    基于二叉树的时序电路测试序列设计

    为了实现时序电路状态验证和故障检测,需要事先设计一个输入测试序列。基于二叉树节点和树枝的特性,建立时....
    发表于 07-12 13:57 619次 阅读
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    AVL使用MATHWORKS工具开发燃烧控制器

    AVL使用MATHWORKS工具开发燃烧控制器 MathWorks 近日宣布,从事动力总成系统开发....
    发表于 05-08 08:43 1064次 阅读

    基于二叉树满足MC DC测试用例设计方法

    软件测试是保证软件质量的有效方法,但测试工作过程繁琐,工作量较多。探索高效、可靠的测试用例设计方法一....
    发表于 03-01 16:22 600次 阅读