用Python实现矩阵与线性变换

认识矩阵

矩阵是向量的集合，把多个向量组织在一起就构成了一个矩阵。例如在三维空间内，有A、B、C三个向量。

将A、B、C三个向量按照行的方式组织在一起构成了矩阵M：

将A、B、C三个向量按照列的方式组织在一起构成了矩阵T：

矩阵M的向量称为行向量，矩阵T的向量称为列向量。下面给出矩阵的定义：

矩阵是由m X n个数aij排列成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵，简称m X n 矩阵。矩阵表示如下：

在上述定义中，可以把矩阵A看作是由m个：

向量构成的。

如果矩阵的行和列相同，即矩阵是由n X n个数aij排列成的n行n列的数表，称为n阶矩阵。

矩阵的转置运算

前面的矩阵M和矩阵T可以互相转换，这种转换称为矩阵的转置运算。矩阵的转置就是把矩阵的行列互换，行变成列，列变成行。例如对M矩阵行列互换后，就构成了矩阵T。

下面给出矩阵的转置概念：

把m X n矩阵A的行列依次互换得到n X m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。

矩阵的转置运算满足下面的运算律：

（AT）T = A

转置矩阵的转置矩阵是原矩阵。

（A + B）T = AT + BT

A与B和的转置矩阵等于A的转置矩阵与B的转置矩阵的和。

（AB）T = BTAT

A与B矩阵积的转置矩阵等于B的转置矩阵与A的转置的积（顺序不能颠倒）。

矩阵的加法运算

设有矩阵A和矩阵B：

如何计算A+B和A-B呢？

两个矩阵进行加法和减法运算有一个前提条件，就是两个矩阵的行数和列数相同，在这种情况下，两个矩阵相加和相减的结果是一个新的矩阵，新矩阵的行数和列数和原来矩阵的行列数相同，其元素分别是两个矩阵对应元素的和值和差值。

矩阵的加法和减法运算可以看作矩阵内对应向量的加法或减法运算。例如在计算A+B的过程中，A的列向量或行向量分别与B的列向量或行向量相加，结果是新矩阵的列向量或行向量。

纯量与矩阵的乘法运算

纯量与矩阵相乘，结果矩阵与原矩阵的行列数相同，其元素的值是原矩阵中每个对应元素与纯量相乘的数值。

（-1）* B的计算过程如下所示：

例1：编写Python程序，实现前面矩阵A和B的加法运算和减法运算。

在Python程序中，使用嵌套列表定义一个二维数组，这个二维数组就是一个矩阵。

#使用嵌套列表定义矩阵A和B

A = [[-1,3,2],[5,7,-2],[-3,0,1]]

B = [[8,2,-1],[6,4,0],[-2,3,5]]

#定义矩阵C，存储A+B的结果

C = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]

#定义矩阵D，存储A-B的结果

D = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]

遍历A矩阵的行

for i in range(len(A)):

遍历A矩阵的列

for j in range(len(A[0])):

C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]

D[i][j] = A[i][j] - B[i][j]

print(C)

print(D)

在实际应用中，一般使用numpy对矩阵进行运算。

导入numpy模块

import numpy as np

定义矩阵

A = np.array([[-1,3,2],[5,7,-2],[-3,0,1]])

B = np.array([[8,2,-1],[6,4,0],[-2,3,5]])

矩阵运算

print(A+B)

print(A-B)

矩阵的线性变换

变换本质是一个函数，它是一个映射，它接受输入内容并输出对应结果。

例如函数：

当x取不同实数时，都会有唯一对应的输出结果来对应输入的x。

对线性代数来说，变换是接受一个向量，并输出一个向量。在线性代数中，一个向量到另外一个向量的映射之所以称为变换，不称为函数，是因为考虑到了向量的变换实际是向量的运动。

如：二维空间的向量A到向量B的变换，实际是向量A通过变换移动到了向量B的位置。

A =(10,0,60.0) B=(56.6,22.3)

图中向量A到向量B的变换是一种旋转变换，该变换为线性变换，它满足下面的性质。

设旋转变换为T，对线性空间V中的任意向量A和B及实数k，均有

T（A+B）= T（A）+T（B）

T（kA） = kT（A）

要验证旋转变换是否是线性变换，需要求出变换T，看变换T是否满足线性变换的两个性质。下图是二维空间向量V围绕原点逆时针旋转的示意图。

如上图所示，向量V绕原点逆时针旋转θ角，得到向量V’，假设向量V=(x,y)，则向量V’为：

旋转变换T为：

若T是线性变换，应满足线性变换的两个性质。下面我们用Python程序来验证T是线性变换。验证代码如下：

import numpy as np




# 定义向量A
A = np.array([3,2])
# 定义向量B
B = np.array([-1,5])
# 定义纯量K
k = 3.14
# 定义旋转角度
r = 30




# 定义变换T函数
# v:向量  a:旋转的角度
def T(v,a):
# 转换为弧度
a = a / 180 * np.pi
# 向量v旋转a到m
m = np.array([v[0]*np.cos(a)-v[1]*np.sin(a),
v[0]*np.sin(a)+v[1]*np.cos(a)])
return m




print("T(A+B)=T(A)+T(B):%s:%s" % (str(T(A+B,r)),str(T(A,r)+T(B,r))))
print("kT(A)=T(kA):%s:%s" % (str(k*T(A,r)),str(T(k*A,r))))

输出结果如下图所示：

旋转变换T可以用矩阵表示，T也称为旋转变换矩阵：

计算向量V到向量V’的转换可以使用矩阵乘法：

使用矩阵乘法可以对多个二维向量组进行旋转：

Python代码如下：

import numpy as np
#定义旋转矩阵T
# a:旋转角度
def T(a):
# 转换为弧度
a = a / 180 * np.pi
return np.array([
[np.cos(a),-np.sin(a)],
[np.sin(a),np.cos(a)]
])




# 定义矩阵A
# 矩阵A为待旋转的向量组
A = np.array([[3,2],
[-1,5],
[5,-2],
[2,-3],
[1,-1]
])
# 对矩阵A进行转置再相乘
C = np.matmul(T(30),np.transpose(A))
print(C)

输出结果如下图所示：