通过数学方法推导出4种功率计算公式

0 综述

本文通过数学方法推导出4种功率计算公式（即P11、P12、P21和P22）；然后给出了功率计算公式 P = (I^2)*R 的适用性；最后，说明了平均电流与有效电流差值大小的决定因素。

1 通过数学方法推导出4种功率计算公式

图1 瞬时电流波形

图1所示，假设有两个电流、两个开关、一个负载电阻，加载到负载电阻上的周期电流信号为I1和I2，我们将分别基于I1和I2的平均值和有效值，平方之后再平均，平均之后再平方，通过数学方法看它们的差异。

图1所示，瞬时电流波形表示如下：

1.1 先分别计算T1和T2两段时间内的能量（也就是先平方），然后再平均，计算功率，如下所示：

1.2 先计算TSW周期内的平均电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示：

1.3 分别计算T1和T2两段时间内的RMS电流，然后先平方再平均，计算功率，如下所示：

1.4 先计算TSW周期内的RMS电流（也就是先平均），然后再平方，计算功率，如下所示：

1.5 总结对比

2 当 I1 = I2 时，平均电流与有效电流分别是多少…

当 I1 = I2 时，我们使用I2替换公式(0.3)和(0.8)中的I1，可得：

使用 I^2×R 分别计算功率，可得：

综上所示，当 I1 ≠ I2 时，对比功率计算公式(0.4)和(0.9)可以发现，功率P12和P22是不同的。当 I1 = I2 时，对比功率计算公式(0.12)和(0.13)可以发现，功率P13和P23是相同的。这就从理论上说明了：

① 使用 I^2×R 计算功率时，其中的电流参数 I 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量。

② 由欧姆定律可知，直流电压 U = IR ，P = UI = (I*R)*I = (I^2)*R 计算得到的就是平均功率。

③ 当 I1 ≠ I2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的P11、P21和P22才是正确的平均功率，P12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。

3 当 I1 ≠ I2 时，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大…

我们已经知道了图1中瞬时电流的平均值为公式(0.3)，有效值为公式(0.8) 。参考图1，两个电流的差值为 I1 – I

2 = ∆I ，我们用I2和∆I表示I1，可得 I1 = I2 + ∆I ，并将其分别代入公式(0.3)和(0.8)，可得：

由此可知，平均值与有效值在经验上几乎相等，是因为周期信号的波动比较小，具体到这里就是因为 ∆I 比较小。我们使用极限的思维，当 ∆I 越来越小，最后会趋向于零，即 ∆I = 0 ；此时公式(0.14)和(0.15)分别为：

实际验证如下：

(1) 当I1 = 4，I2=2时，可见有效值与平均值差异为0.15，可以认为有效值等于平均值。

(2) 当I1 = 50，I2=2时，可见有效值与平均值差异为11.03，可以认为有效值等于平均值吗…

(3) 当I1 = 100，I2=2时，可见有效值与平均值差异为23.39，可以认为有效值等于平均值吗…

4 总结

(1) 通过数学方法推导出4种功率计算公式（即P11、P12、P21和P22）。

(2) 使用 I^2×R 计算功率时的条件是，其中的电流参数 I 必须是直流电流，不能包含纹波电流分量或交流电流分量；这样，在计算功率时，无论是“先平方再平均”，还是“先平均再平方”，得到的结果才是等同的，即P13和P23是相同的。否则，当电流参数 I 中包含纹波电流分量或交流电流分量时，“先平方再平均”与“先平均再平方”，得到的结果就是不同的。

这里直流与交流的边界，会导致功率计算结果的适用性不同，类似于BUCK电路会因为负载电流等边界的影响，导致有CCM和DCM两种完全不同的工作逻辑（DCM会比CCM复杂很多。

另外，当 I1 ≠ I2 时，通过公式(0.2)、(0.7)和(0.9)计算得到的P11、P21和P22才是正确的平均功率，P12是不正确的。这是本文得出的一个很重要的结论。

(3) 通过理论与验证说明了，平均电流与有效电流差值有多大，取决于电流波动有多大。电流波动越大，平均电流与有效电流的差值也就越大。

以BUCK电路为例，我们通常设定纹波电流为负载电流的0.3倍，所以平均电流与有效电流的差值相对较小。