如何求解传递函数

终于到了最关键的环节，也是最难的环节，如何求出开关级的传递函数？

也就是下图这一级。

这一级之所以这么难，主要是有开关元器件，本身是非线性的。

当然了，前面第2小节我们已经阐明了，在满足低频，小信号等条件下，也可以看成是线性的，这里就不再说了。

那么如何求解传递函数呢？

求解方法

求的方法有很多种，常见的有下面这几种：

1、小信号模型的建模思路——基本建模法

2、状态空间平均法

3、开关元件平均模型法

4、开关网络平均模型法

上面这几种方法在《开关变换器的建模与控制+张卫平编著》这本书中都有非常专业详细的讲解。其实我此章也主要是看这本书进行的一个总结。

我个人觉得最好的应该是第4种——开关网络平均模型法，或者说这是我最喜欢的方法吧，也是我深入去看的一种方法。

不过原书中的方法会画出有变压器的等效电路，我不喜欢引入变压器，所以我下面介绍的过程是没有引入变压器的，直接推导出的公式。

Buck的CCM模式求解过程

求解过程主要有这么几步：

1、二端口等效

2、端口参数关系，推导出两个式子

3、代入电路，结合原理推导出传递函数

二端口等效

先来看二端口等效是怎么回事，下面是buck的拓扑。

最难搞的就是里面这个MOS管和二极管了，那咋整呢？

干脆就把它看作一个整体，对外有四根线，同时底下两根线接地，所以也就是说有两个端口，是一个二端口网络。

那么电路变成下面这样的了

按照上图一等效，好像也没什么卵用，反而更加不熟悉了。先不着急

我们需要先对i1(t)，i2(t)，v1(t)，v2(t)取开关周期的平均值，注意，是开关周期平均值，而不是总时间平均值。因为如果是总时间的平均值，那就只是直流等效了。

这里多一嘴，说说开关周期平均值和总时间平均值有什么差别，因为我在这里想了比较久，并且看起来两个值好像是一样的。

确实，如果是稳态，没有干扰信号，负载恒定，上述变量在每一个开关周期内的平均值都是一样的，并且等于总时间的平均值。

但是如果有干扰信号，那么可能上一个周期的平均值跟下一个周期的平均值不一样，也就是它是时间的函数。我们现在分析传递函数，就是分析干扰信号的影响，自然不能只看直流等效了，所以求的是开关周期的平均值。

那问题来了？求开关周期的平均值合理吗？

其实这里就有用到前面所说的线性化条件——低频信号假设，我们研究的信号大大低于开关频率，因此求开关周期的平均值是合理的。

取的周期平均值我们用新符号表示，分别为：I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)，它们都是时间的函数。那么电路就变成了下面这样：

现在我们需要分析下我们引入二端口的4参数I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)，他们之间到底有啥恩怨情仇？

端口参数关系，推导出两个式子

假如没有任何干扰信号，那么I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)周期平均值和全时间的平均值是一样的，每个周期都一样，每个周期的平均值自然和全部时间内的平均值一样，这应该没毛病。

好，我们假设没有干扰信号时，平均值分别是I1，I2，V1，V2，它们是个常量。此时开关信号的占空比也是恒定的，我们用D表示。

现在我们将干扰信号加进去，我们知道，系统只有满足小信号条件的时候，才能将之近似看成线性系统。

既然干扰信号是小信号，那么这个干扰信号会引起I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)随时间小范围变化，它们分别以I1，I2，V1，V2为中心进行波动，同理，占空比也会围绕D为中心进行波动。

各变量的波动量不就是交流小信号吗？

我们分别用符号△I1(t)，△I2(t)，△V1(t)，△V2(t)，△D(t)来表示。

那么我们可以用下面的表达式进行表示：

式子已经列出来了，现在我们需要求他们之间的关系。

先看看V2(t)的物理意义，前面说了，它是开关周期内的平均值。

显然，V2(t)=V1(t)*D(t)，为什么呢？

因为在MOS不导通的时候，那么二极管导通，v2(t)为0，而在MOS导通的时候，v2(t)等于v1(t)。

所以，v2(t)在周期内的平均值V2(t)就等于导通时间的百分占比乘以V1(t)，即：

同样的，I1(t)= I2(t)*D(t)，那又是为什么呢？

因为MOS在不导通的时候，i1(t)为0，而在MOS管导通的时候，i1(t)等于i2(t)，所以，i1(t)在周期内的平均值I1(t) 就等于导通时间的百分占比乘以I2(t)，即：

易知，上面两个式子，无论是在稳态（没有干扰），还是在有干扰的情况下，都是成立的。

小信号求解

我们把前面得到的几个式子代换一下，就可以得到小信号的表达式。

上面的式子可能看着有点复杂，其实简单代换就出来了，最终我们得到了下面这两个式子：

式子中忽略了高阶微小量，为什么可以忽略呢？

我是这么理解的，本来这些带△的量就是小信号，意思是围绕一个中心值小范围波动，所以带△符号的量相对于不带△符号的量是很小的。那么两个都带△符号的量相乘，乘积就更小了，所以干脆把它忽略掉了。

对于BUCK来说，只需要第一个式子就可以求出传递函数了，也就是下面这个

写的有点长，我们回顾下我们最终的目的，我们的目的是要求出Gvd，也就是△Vo/△D的值，上面式子中，我们已经能知道△V2与△D的关系，那△V2与△Vo是什么关系呢？

回到我们Buck的拓扑

V1(t)不就是输入信号Vi吗？

理想情况下，Vi就是恒定的，占空比变化也不会导致Vi发生变化（不要考虑输入的开关纹波，我们现在分析的是理想拓扑，输入电源为理想电源，电压就是恒定的）。

既然Vi恒定，那么V1(t)就恒定不变，那么前面说的V1(t)的变化量△V1(t)=0。所以上面的那个式子可以再次化简下，如下：

另一方面，△V2指的是在占空比发生变化时，在电感前面引起的电压的变化量。

我们知道了△V2，那么△Vo不就是后面电感L，电容C，负载R对△V2的分压吗？那么就有了：

再结合前面得到的式子△V2=△D*Vi，我们就求得了最终的传递函数：

到此，我们就求出了buck的开关变换器的传递函数Gvd(s)。

写到这里，我估计会有兄弟说：搞了一堆，我肉眼都能看出在电感之前的信号表达式△V2=△D*Vi，再把它后面的电感L，C，R看成是低通滤波器，1分钟就能推出传递函数了。

确实如此，有点复杂，不过我上面的推导是普遍适用的法子，我拿BUCK来举例其实不好。如果拿boost就比较好，因为boost肉眼看不出来，但用上面的法子就可以推导出来。

那下面就再看看Boost

Boost的CCM模式传递函数推导过程

有了前面的铺垫，Boost我就写简单点，其实最关键的还是那个MOS和二极管，我们的过程依然是下面几步。

1、二端口等效

2、端口参数关系，推导出两个式子

3、代入电路，结合原理推导出传递函数

二端口等效

二端口等效如下：

端口参数关系，推导出两个式子

I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)为周期平均值，假如没有任何干扰信号，它们和全时间的平均值是一样的，每个周期都一样，每个周期的平均值自然和全部时间内的平均值一样，这应该没毛病。

好，我们假设没有干扰信号时，平均值分别是I1，I2，V1，V2，它们是个常量。此时开关信号的占空比也是恒定的，我们用D表示。

现在我们将干扰信号加进去，我们知道，系统只有满足小信号条件的时候，才能将之近似看成线性系统。

既然干扰信号是小信号，那么这个干扰信号只会引起I1(t)，I2(t)，V1(t)，V2(t)随时间小范围变化，它们分别以I1，I2，V1，V2为中心进行波动，同理，占空比也会围绕D为中心进行波动。

各变量的波动量不就是交流小信号吗？

我们分别用符号△I1(t)，△I2(t)，△V1(t)，△V2(t)，△D(t)来表示。

式子已经列出来了，现在我们需要求他们之间的关系。

先看看V1(t)的物理意义，它是周期内的平均值。

显然，V1(t)=V2(t)*(1-D(t))，为什么呢？

因为在MOS不导通的时候，二极管（看成理想二极管）导通，v1(t)为v2(t)，而在MOS导通的时候，v1(t)接GND，为0，所以，v1(t)在周期内的平均值V1(t)就等于不导通时间的百分占比乘以V2(t)，即：

同样的，I2(t)= I1(t)* (1-D(t))，那又是为什么呢？

因为MOS在不导通的时候，i2(t)等于i1(t)，而在MOS管导通的时候，i2(t)等于0，所以，i2(t)在周期内的平均值I2(t) 就等于不导通时间的百分占比乘以i1(t)，即：

从推导过程看，上面两个式子，无论是在稳态（没有干扰），还是在有干扰的情况下，都是成立的。

小信号求解

我们把前面得到的几个式子代换一下，就可以得到小信号的表达式。

忽略高阶小项，得到下面两个小信号的式子：

回想我们的目的，我们要得到传递函数，也就是需要知道△Vo与△D的比值关系。当然，我们会有一些量是已知的，比如输入Vi，占空比D，还有电感L，负载阻抗R，负载滤波电容C，这些都是已知量。

回到Boost的拓扑

从上面我们能得到什么式子呢?

首先，在输入端，对于交流小信号来说，输入直流Vi相当于是短路，那么电感左边相当于接地，根据复阻抗的欧姆定律，那么电感两端压降就是：sL*△I1(t)，也等于-△V1(t)，负号表示方向。

关于为什么“对于交流小信号来说，输入直流Vi相当于是短路”的，我之前也写过一篇文章，可以去瞅瞅。

其次，在输出端，对于交流小信号来说，电压△Vo=△V2，同时，根据复阻抗的欧姆定律，电压等于电流乘以阻抗，即：

然后，V1为直流分量，因此有V1=Vi；

V2也为直流分量，因此有V2=Vo，I2=Vo/R

并且在小信号求解时，我们已经推出了两个公式：

V1=(1-D)*V2；

I2=(1-D)*I1

我们把上述所有公式汇总，消除中间量，就可以求出传递函数了，如下图：

以上就是boost求解传递函数的过程，看着是非常费劲，其实要是想通了就不难。

审核编辑：郭婷