树的递归结构和树的存储结构分析

树的递归结构

从一张图中解释什么是树

这张图，主要讲解关于cart这个单词的所有的可能组合，按照常理，需要先考虑三个字母的排列，然后对三个字母进行拆分，直到最后一个节点，这个过程就类似于树 到底什么是树

什么是树

树是节点集合(A tree is a collection of nodes)，

集合：集合是允许一个元素都没有的集合，称之为空集。

首先，集合是允许一个元素都没有的集合，称之为空集，那么书是不是也允许一个节点都没有的呢，是的，一个节点都没有的树，称之为空树，如果不是空的，则会存在根节点r和零个或更多非空子树，T1，T2.。。Tk，他们的根由来自r的有向连接，什么叫有向边，大致可以理解为箭头。用图的关系说明树的内部关系

根节点（root）一棵树只有一个跟节点，所有的节点都在该节点的下面，尝试把图倒过来看，可以看成一个我们日常见到的数的根部，在这里显然字母A就是这颗树的根节点。

子节点，父节点，一个节点，它对应的下面有连这的节点，那么被连着的节点就是这个节点的子节点，也叫做孩子，那么这个节点叫做被连接的节点的父亲，看图，B被A连这，所以B是A的一个孩子，同理，CDE等等这一行都是A的孩子，同时F，它连这K L M 同时被A连这，那么F是A的一个孩子，同时又是K L M 的父亲。

树叶：树叶就是那些没有孩子的节点，比如B，C，D等等，例如下图的绿色部分。

兄弟: 按照我们的理解，同一个父母生的当然是兄妹，如下图所示，颜色相同的都是兄妹

路径 我们同样可以定义从父亲到他孩子的路径，下面的路径，我们就取上图的一部分，一个子树，作为例子

比如，A->O的路径为A->E->J->O它的长度为3，实际为它的边数，图中红色的部分。

节点的深度：节点的深度指的是节点到树根的长度，看下图，我们可以轻易的知道，j节点的深度为2，可以理解为 A-> E -> J 边长为2.显然，此时根节点的深度为0.

节点的高度：高度是从节点到叶子的最长路径，比如节点F的高度为1，显然所有叶子节点高度为0.

树的高度，树的高度是跟的高度，显然在这图中，树的高度为3，A->O

树的特点

按照正常的逻辑，一个人不能同时有两个父亲，所以树也一样，下图的两个就解释了这个问题

一颗正常的树，它的树枝是不会长成一个圆的，所以，树中，是不可能出现环形的。图中，红色箭头构成了一个环，所以都不是一颗树。

树的存储结构

树的存储结构有三种，分别为，双亲表示法，孩子表示法，孩子兄弟表示法。

双亲表示法

假设一组连续空间保存着树的特点，同时在每个节点中，附带一个指示器表示双亲节点中链表的为位置，也就是说，每个节点除了知道自己是谁以外，还知道他的双亲在哪里。

其中data是数据域，存储结点的数据信息。而parent是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。

//树的双亲表示法结点结构定义
#define MAX_TRUE_SIZE 100
typedef int TElemType //树结点的数据类型

//结点结构
typedef struct PTNode   
{
	TElemType data;  //结点数据
	int parent;   	//双亲位置
}PTNode

//树结构
typedef struct
{
	PTNode nodes[MAX_TRUE_SIZE];  //结点数组
	int r,n     //根的位置和结点数
}PTree

有了这样的数据结构就可以来实现双亲表示法。由于根结点是没有双亲的，所以我们约定根结点的位置域设置为-1，这也就意味着，我们所有的结点都存有他双亲的位置。如图1-2中的树结构和表1-3中的树双亲表示。

这样的存储结构，我们可以根据结点的parent’指针很容易找到他的双亲结点，时间复杂度为O(1)，直到parent为-1时，表示找到了树结点的根

孩子表示法

换一种完全不同的考虑方法，由于树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表。每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一颗子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表的表示方法。不过，树的每个结点的度，也就是他的孩子个数是不同的，所以设计两种方法：

方案一

指针域的个数就等于树的度，树的度就是树各个结点度的最大值。其结构如图

其中data是数据域，child1到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。对于图1-1来说，树的度是3，所以我们指针域个数就是3，

方案二

每个结点指针域的个数等于该结点的度，我们专门取一个位置来存储结点指针的个数。

data为指针域，degree为度域，也就是存储该结点的孩子结点的个数

这就是我们要说的孩子表示法，把每个结点的孩子都排列起来，以单链表为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组，

为此，设计两种存储结构，一个是孩子链表的孩子结点，

child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标。next是指针域，用来存储指向结点的下一个孩子结点的指针。另一个是表头数组的表头结点。

data是数据域，存储某结点的数据信息，firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。

//树的孩子表示法结构定义
#define MAX_TRUE_SIZE 100
typedef struct CTNode  //孩子结点
{
	int child；
	struct CTNode *next;
}*ChildPtr;
//表头结构
typedef struct
{
	TElemType data;
	ChildPtr firstchild;
}CTBox;
//树结构
typedef struct
{
	CTBox nodes[MAX_TRUE_SIZE];  //结点数组
	int r,n;               //根的位置和结点数
}CTree

把把双亲表示法和孩子表示法综合一下表示如下

这种表示法叫做双亲孩子表示法，应该算是孩子表示法的改进。

孩子兄弟表示法

任一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此。我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

data是数据域，fitstchild为指针域，存储该结点的第一个孩子结点的存储地址，rightsib是指针域，存储该结点的右兄弟结点的存储位置。

//孩子兄弟表示法结构定义
typedef struct CSDNode
{
	TElemType data;
	struct CSNode *firstchild,*rightsib;
}CSNode,*CSTree;

这种方法的示意图如下所示

这种表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过firstchild找到此结点的长子，然后在通过长子结点的rightsib找到它的二弟，接着一直找下去，直到找到具体的孩子。
编辑：hfy