基于NURBS的复杂域边界单元改进方法

提出了基于非均匀有理B样条(NURBS)理论的边界单元改进方法。该方法以原分网后的节点和单元数据为依据，按照平均取值的原则获取边界单元边界边上的控制点，根据这些控制点利用NURBS理论表示边界边，并可通过不断调节权因子，使分网后的边界更加接近真实边界。最后以VC＋＋为平台，通过算例验证了该改进方法的有效性，并推导了改进后边界单元的形函数。
关 键 词 非均匀有理B样条; 复杂域; 边界单元; 改进方法; 分网

有限元法(Finite Element Method，FEM)作为最有效的数值方法之一，已成功用于解决许多工程问题。有限元模型的建立，是进行有限元分析(Finite Element Analysis，FEA)的前提和基础。分网又是有限元建模中最耗时的环节，是有限元分析的关键，它对计算精度、计算规模等都会产生较大的影响。
为满足功能或性能要求，工程中存在大量由曲面和曲线组成的区域——复杂域组成的产品，如汽车覆盖件、车架、桥架等。这些复杂域能很好地满足产品性能和外观要求，但同时也给工程分析带来一定难度，主要体现在分网的精度上。
目前，在分网中，三角形单元应用较为广泛，但有些工程问题需要采用四边形单元。与三角形单元相比，四边形单元的数据输入和对输出应力的解释更容易，但不能很好地表达复杂域的实际边界，精度不能保证[1]。为解决该问题，可采用减小单元尺寸或提高单元阶次的方法来提高精度。但这些方法会使节点和单元数成倍增加，对计算机性能要求较高。
针对以上问题，本文提出了基于非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS)的复杂域边界单元的改进方法。

1 NURBS基本理论
NURBS方法，是目前最佳的曲线、曲面造型方法。由于它能够精确描述包括二次曲线在内的各种曲线，无论是解析形状还是自由格式形状均有统一的表示参数，便于工程数据库的存取和应用，并可通过控制点和权因子方便地对曲线、曲面的形状进行局部调整。
NUBRS的提出，是为了将所有空间曲线、曲面用统一数学形式描述。国际标准组织(ISO)继美国的PDES后，于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。
NURBS对曲线的数学定义为：已知空间n+1个点di，(i=0,1,􀀢,n)，则一条k次NURBS曲线可表示为分段有理多项式矢函数：
,,00()()/()nniiikiikiipuwdNuwNu===ΣΣ 1[,]kkuuu+∈ (1)
式中 di为控制点，i= 0,1,􀀢,n；wi为相应控制点的权因子(Weight Factor)，i= 0,1,􀀢,n；为k次B样条基函数；[u)(,uNki0,u1,􀀢,un＋k]为曲线节点矢量。
2 复杂域边界单元的改进
2.1 复杂域边界单元改进思想
采用一般四边形分网方法得到边界单元如图1所示。图中i、j为边界单元与复杂域边界的交点；为分析域边界的NURBS表示，i点、j点坐标分别为、。采用平均取值的方法，在边界边上的和间取m个控制点，即d()pu)(iup)(jup
)(iup
(jup0=，dpm−1= ，d)(jupj=。用式(1)表示边界单元的边界边。 ((()/ium+−
为保证在公共节点处连续，取首末权因子为w0=wm−1=1，其余的权因子wi],0[+∞∈可取不同的值。当wi取值适当时，边界单元边界边将在控制点处与边界实现最佳逼近。控制点越多，逼近程度越好。同时，为保证NURBS曲线不出现奇异，wi取值不小于0。