非线性电路的混沌现象

1、引言

混沌理论（ChaosTheory）是架起确定论和概率论两大理论体系之间的桥梁，与相对论、量子力学一起被称为20世纪物理学的三大科学革命。混沌研究最先起源于1963年洛伦兹（E.Lorenz）研究天气预报时用到的三个动力学方程，后来又从数学和实验上得到证实。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。近年来，混沌现象及其应用已成为通讯工程、电子工程、生物工程、经济学等领域中的一个研究热点。由于电学量（如电压、电流）易于观察和显示，因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同步应用的重要途径，其中最典型的电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路（Chua’sCircuit）。蔡氏电路是能产生混沌行为的最简单的自治电路，是至今所知唯一的混沌实际物理系统，已被希尔尼柯夫定理严格证明存在混沌现象。就实验而言，可用示波器观察到电路混沌产生的全过程，并能得到双涡卷混沌吸引子，有兴趣的读者不妨亲自搭试电路，实际观测一番。

2、蔡氏电路

图1就是讨论非线性电路系统的一种简单而又经典的电路———蔡氏电路，它是由两个线性电容C1和C2、一个线性电感L、一个可变线性电阻R0和一个非线性电阻R构成。电感L和电容C2并联构成振荡电路，线性电阻R0的作用是分相。非线性电阻R的伏安特性iR=g（uR），是一个分段线性的负电阻，如图2所示，整体呈现对称但非线性。负阻是出现混沌的原因，其特性至少可用三种方法来实现：两个晶体管和两个二极管;一个运算放大器和两个二极管;一个双运算放大器和六个线性电阻组合。

图1电路中有3个状态变量uC1，uC2和uL，电路的非线性动力学状态方程为：

式中：uC1，uC2和iL分别表示C1、C2两端的电压，L中的电流。g（uR）是负阻曲线。蔡氏电路是能产生混沌行为的最小、最简单三阶（3个状态变量）自治（方程右端不显含时间）电路。

3、电路混沌的实验研究

混沌实验电路如图3所示。这里将蔡氏电路中的非线性电阻R的特性通过一个双运算放大器和6个线性电阻组合来实现，具体参数选取如下：R1=5.1kΩ，R2=3.3kΩ，R3=1kΩ，R4=R5=100Ω，R6=5.6kΩ。每次取两个状态变量在示波器上观察李萨如图形。

3.1、改变电阻R0，其它参数保持不变。

在合适选取C1、C2和L以后，如取C1=4700pF，C2=0.1μF，L=10mH，调节R0。当R0由3kΩ逐渐减小时，在示波器上看到，例如由uC1-uC2呈现的变化规图3非线性电路混沌实验电路图律。由1个点（稳态平衡点）→1个圈（Hopf分岔，出现单周期极限环）→2个圈（倍周期分岔，出现2周期极限环）→22圈（4周期极限环）→……→2∞个圈（单涡卷混沌吸引子）。实验中一般能观察到周期8，由于变化速度太快很难看到大于8的周期。周期为无穷大也就是没有周期，这就是混沌。在上述参数值下，R0=1.5kΩ左右时电路可进入混沌状态。继续减小R0，还会出现双涡卷混沌吸引子，只见环形曲线在两个外涡卷的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇异吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局部上的不稳定性同时存在。图4是一个单涡卷混沌吸引子，图5、图6都是双涡卷混沌吸引子。

利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R0，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化，却突然出现了一个三周期图像，再微调R0，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。