CW32电机控制基础——PID控制原理

将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，用这一控制量对被控对象进行控制，这样的控制器称PID控制器。在社区开源的CW32L011无刷电机驱动器有感控制代码就用到了相关方法。也是电机控制必备知识。

1模拟PID控制原理

在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。为了说明控制器的工作原理，先看一个例子。如图1所示是一个小功率直流电机的调速原理图。给定速度n0(t)与实际转速进行比较，其差值e(t)=n0(t)-n(t)，经过PID控制器调整后输出电压控制信号u(t)，u(t)经过功率放大后，驱动直流电动机改变其转速。

图1 小功率直流电机调速系统

常规的模拟PID控制系统原理框图如图2所示。该系统由模拟PID控制器和被控对象组成。图中，r(t)是给定值，y(t)是系统的实际输出值，给定值与实际输出值构成控制偏差e(t)，所以：

图2 模拟PID控制系统原理图

e(t)作为PID控制的输入，u(t)作为PID控制器的输出和被控对象的输入。所以模拟PID控制器的控制规律为：

其中：Kp为控制器的比例系数；Ti为控制器的积分时间，也称积分系数；Td为控制器的微分时间，也称微分系数。

1）．比例部分

比例部分的数学式表示是：Kp* e(t)。

在模拟PID控制器中，比例环节的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一旦产生控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数，比例系数越大，控制作用越强，则过渡过程越快，控制过程的静态偏差也就越小；但是越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。故而，比例系数选择必须恰当，才能过渡时间少，静差小而又稳定的效果。

2）．积分部分

积分部分的数学式表示是：

从积分部分的数学表达式可以知道，只要存在偏差，则它的控制作用就不断的增加；只有在偏差为零时，它的积分才能是一个常数，控制作用才是一个不会增加的常数。可见，积分部分可以消除系统的偏差。

积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。积分常数越大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡；但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当积分常数较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。所以必须根据实际控制的具体要求来确定积分系统。

3）．微分部分

微分部分的数学式表示是：

实际的控制系统除了希望消除静态误差外，还要求加快调节过程。在偏差出现的瞬间，或在偏差变化的瞬间，不但要对偏差量做出立即响应（比例环节的作用），而且要根据偏差的变化趋势预先给出适当的纠正。为了实现这一作用，可在PI控制器的基础上加入微分环节，形成PID控制器。

微分环节的作用是阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势（变化速度）进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对髙阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。但微分的作用对输入信号的噪声很敏感，对那些噪声较大的系统一般不用微分，或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。

微分部分的作用由微分时间常数决定。微分系统越大时，则它抑制偏差变化的作用越强；越小时，则它反抗偏差变化的作用越弱。微分部分显然对系统稳定有很大的作用。

适当地选择微分常数，可以使微分作用达到最优。

由于计算机的出现，计算机进入了控制领域。人们将模拟PID控制规律引入到计算机中来。对式2的PID控制规律进行适当的变换，就可以用软件实现PID控制，即数字PID控制。

数字式PID控制算法可以分为位置式PID和增量式PID控制算法。

2位置式PID算法

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量量，进行连续控制。由于这一特点，式2中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。离散化处理的方法为：以T作为采样周期，k作为采样序号，则离散采样时间kT对应着连续时间t，用矩形法数值积分近似代替积分，用一阶后向差分近似代替微分，可作如下近似变换：

上式中，为了表示的方便，将类似于e(kT)简化成ek等。

将式3代入式2，就可以得到离散的PID表达式为：

或：

其中，k为采样序号，k＝0，1，2，……；

uk为第次采样时刻的计算机输出值；

ek为第次采样时刻输入的偏差值；

ek-1为第k-1次采样时刻输入的偏差值；

Ki为积分系数，Ki=Kp*T/Ti；

为微分系数，Kd=Kp*Td/T；

如果采样周期足够小，则式4或式5的近似计算可以获得足够精确的结果，离散控制过程与连续过程十分接近。

式4或式5表示的控制算法直接按式2所给出的PID控制规律定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式PID控制算法。

这种算法的缺点是：由于全量输出，所以每次输出均与过去状态有关，计算时要对ek进行累加，工作量大；并且，因为计算机输出的uk对应的是执行机构的实际位置，如果计算机出现故障，输出的uk将大幅度变化，会引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的生产事故，这在实生产际中是不允许的。

增量式PID控制算法可以避免这种现象发生。

3增量式PID算法

所谓增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量Δuk。当执行机构需要的控制量是增量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式PID控制算法进行控制。

增量式PID控制算法可以通过式4推导出。由式4可以得到控制器的第k-1个采样时刻的输出值为：

将式4与6相减并整理，就可以得到增量式PID控制算法公式为：

其中：

由式7可以看出，如果计算机控制系统采用恒定的采样周期T，一旦确定A、B、C，只要使用前后三次测量的偏差值，就可以由7求出控制量。

增量式PID控制算法与位置式PID算法(如式4）相比，计算量小的多，因此在实际中得到广泛的应用。

而位置式PID控制算法也可以通过增量式控制算法推出递推计算公式：

式8就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推PID控制算法。

4控制器参数整定

控制器参数整定：指决定调节器的比例系数Kp、积分时间Ti、微分时间Td和采样周期Ts的具体数值。整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配，以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。

整定调节器参数的方法很多，归纳起来可分为两大类，即理论计算整定法和工程整定法。理论计算整定法有对数频率特性法和根轨迹法等；工程整定法有凑试法、临界比例法、经验法、衰减曲线法和响应曲线法等。工程整定法特点不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制系统中进行现场整定，方法简单、计算简便、易于掌握。

凑试法

按照先比例（P）、再积分（I）、最后微分（D）的顺序。

置调节器积分时间Ti=∞，微分时间Td=0，在比例系数按经验设置的初值条件下，将系统投入运行，由小到大整定比例系数Kp。求得满意的1/4衰减度过渡过程曲线。

引入积分作用（此时应将上述比例系数Kp设置为5/6Kp）。将Ti由大到小进行整定。

若需引入微分作用时，则将Td按经验值或按Td=（1/3～1/4）Ti设置，并由小到大加入。

临界比例法

在闭环控制系统里，将调节器置于纯比例作用下，从小到大逐渐改变调节器的比例系数，得到等幅振荡的过渡过程。此时的比例系数称为临界比例系数Ku，相邻两个波峰间的时间间隔，称为临界振荡周期Tu。

临界比例度法步骤：

1、将调节器的积分时间Ti置于最大（Ti=∞），微分时间置零（Td=0），比例系数Kp适当，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。

2、将比例系数Kp逐渐增大，得到等幅振荡过程，记下临界比例系数Ku和临界振荡周期Tu值。

3、根据Ku和Tu值，采用经验公式，计算出调节器各个参数，即Kp、Ti和Td的值。

按“先P再I最后D”的操作程序将调节器整定参数调到计算值上。若还不够满意，可再作进一步调整。

临界比例度法整定注意事项：

有的过程控制系统，临界比例系数很大，使系统接近两式控制，调节阀不是全关就是全开，对工业生产不利。

有的过程控制系统，当调节器比例系数Kp调到最大刻度值时，系统仍不产生等幅振荡，对此，就把最大刻度的比例度作为临界比例度Ku进行调节器参数整定。

经验法

用凑试法确定PID参数需要经过多次反复的实验，为了减少凑试次数，提高工作效率，可以借鉴他人的经验，并根据一定的要求，事先作少量的实验，以得到若干基准参数，然后按照经验公式，用这些基准参数导出PID控制参数，这就是经验法。

临界比例法就是一种经验法。这种方法首先将控制器选为纯比例控制器，并形成闭环，改变比例系数，使系统对阶跃输入的响应达到临界状态，这时记下比例系数Ku、临界振荡周期为Tu，根据Z－N提供的经验公式，就可以由这两个基准参数得到不同类型控制器的参数，如表1所示。

表1 临界比例法确定的模拟控制器参数

这种临界比例法是针对模拟PID控制器，对于数字PID控制器，只要采样周期取的较小，原则上也同样使用。在电动机的控制中，可以先采用临界比例法，然后在采用临界比例法求得结果的基础上，用凑试法进一步完善。

表1的控制参数，实际上是按衰减度为1/4时得到的。通常认为1/4的衰减度能兼顾到稳定性和快速性。如果要求更大的衰减，则必须用凑试法对参数作进一步的调整。

采样周期的选择

Shannon采样定律：为不失真地复现信号的变化，采样频率至少应大于或等于连续信号最高频率分量的二倍。根据采样定律可以确定采样周期的上限值。实际采样周期的选择还要受到多方面因素的影响，不同的系统采样周期应根据具体情况来选择。

采样周期的选择，通常按照过程特性与干扰大小适当来选取采样周期：即对于响应快、（如流量、压力）波动大、易受干扰的过程，应选取较短的采样周期；反之，当过程响应慢（如温度、成份）、滞后大时，可选取较长的采样周期。

采样周期的选取应与PID参数的整定进行综合考虑，采样周期应远小于过程的扰动信号的周期，在执行器的响应速度比较慢时，过小的采样周期将失去意义，因此可适当选大一点；在计算机运算速度允许的条件下，采样周期短，则控制品质好；当过程的纯滞后时间较长时，一般选取采样周期为纯滞后时间的1/4～1/8。

5参数调整规则探索

人们通过对PID控制理论的认识和长期人工操作经验的总结，可知PID参数应依据以下几点来适应系统的动态过程。

1、在偏差比较大时，为使尽快消除偏差，提高响应速度，同时为了避免系统响应出现超调，Kp取大值，Ki取零；在偏差比较小时，为继续减小偏差，并防止超调过大、产生振荡、稳定性变坏，Kp值要减小，Ki取小值；在偏差很小时，为消除静差，克服超调，使系统尽快稳定，Kp值继续减小，Ki值不变或稍取大。

2、当偏差与偏差变化率同号时，被控量是朝偏离既定值方向变化。因此，当被控量接近定值时，反号的比列作用阻碍积分作用，避免积分超调及随之而来的振荡，有利于控制；而当被控量远未接近各定值并向定值变化时，则由于这两项反向，将会减慢控制过程。在偏差比较大时，偏差变化率与偏差异号时，Kp值取零或负值，以加快控制的动态过程。

3、偏差变化率的大小表明偏差变化的速率，ek-ek-1越大，Kp取值越小，Ki取值越大，反之亦然。同时，要结合偏差大小来考虑。

4、微分作用可改善系统的动态特性，阻止偏差的变化，有助于减小超调量，消除振荡，缩短调节时间ts，允许加大Kp，使系统稳态误差减小，提高控制精度，达到满意的控制效果。所以，在ek比较大时，Kd取零，实际为PI控制；在ek比较小时，Kd取一正值，实行PID控制。

审核编辑 黄宇