DFT算法与FFT算法的优劣分析

一概述

在谐波分析仪中，我们常常提到的两个词语，就是DFT算法与FFT算法，那么一款功率分析仪/谐波分析仪采用DFT算法或者FFT算法，用户往往关注的是能否达到所要分析谐波次数的目的，而并未考虑两种算法之间有什么不同，采用相关算法的依据。下面就来介绍一下两种算法的不同以及适用的一些场合。

DFT算法，是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。

FFT算法，是离散傅里叶变换的快速算法，它是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅里叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论没有新的算法发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅里叶变换，可以说进了一大步。

二DFT与FFT的比较

01运算量

一般来说,FFT比DFT运算量小得多，N点的FFT需要做(N/2)log2N次乘法运算，而N点DFT需要做N2次乘法运算，由此看来N点 DFT运算量大约是FFT的2N/log2N倍，例如对1 024点的变换，DFT大约是FFT的200倍。然而实际应用时存在下列情况：

① 实际应用时DFT中的乘法可以是实数和复数相乘，原因是输入信号可以是实数，而FFT只能是复数和复数的乘法，原因是FFT是分级运算的，中间运算过程都是复数运算，由此来看DFT的运算量大约是FFT的Nlog2N倍，而不是2N/log2N倍；

② 实际应用时往往只关心整个频谱中的某一部分，甚至是只关心某些个别频点的谱线。DFT的特点是可按式(1)单独计算某一部分的谱线，而直接进行 FFT的算法必须计算整个频谱后才能得到需要的那一部分频谱，实际上已造成了浪费。如果N点的变换中只关心其中的M个频点或称M条谱线，那么实际DFT的运算量大约是FFT的M/N•N/log2N倍,即Mlog2N倍.例如对1 024点的变换，只需关心10条谱线,那么直接用DFT和用FFT的运算量是相同的。因此，实际应用时DFT与FFT相比可能并没有那么慢,甚至有可能比FFT快。

02点数或采样率的可选性

对DFT来讲,其变换点数可任意选定,如实际应用时采样率已确定为1 000 Hz，如选变换点数为1 000点,那么每条谱线正好可落在整数频点上。FFT的变换点数必须是有规律的，如基数为2算法的FFT其点数必须是2M，如1 024点、4 096点等。在实际应用时为分析方便，采样率往往要定为变换点数的倍数，如2 048 Hz、8 192 Hz，以避免变换后的频谱落在复杂的带小数点的频点上。因此实际应用时FFT在变换点数选择或采样率选择上可能会带来局限性。

03实时性

DFT运算可以用采一点后立即进行相乘、累加运算的方法，即可以采一点算一点，从采样结束到DFT变换结束只需要一个点的运算时间。而FFT运算必须在全部点采集结束后才能开始进行计算，因此从某种角度讲DFT的实时性优于FFT。

04数据内存开销

对N点DFT来讲，如只需其中的M个频点，那么在计算时至少需2M个单元的数据内存，对N点FFT来讲则至少需2N个单元的数据内存，另外现有的FFT程序一般需要将系数放在数据内存区，因此需另选N个单元的数据内存，故DFT有可能比FFT更节省数据内存。

05程序的复杂性

DFT计算程序非常简单而且可以非常方便地在非DFT专用芯片上实现,而FFT程序较为复杂。

06动态范围或抗溢出性

在定点运算的场合，DFT较FFT更容易实现多精度的运算， 例如在TI公司的16位定点DSP处理器中，采用的数据和系数为16位，而相乘并累加的结果可设为双字节即32位，一般来讲设计合理的话不会产生计算溢出的现象，免去了复杂的溢出控制，同时输入输出信号可保持较好的动态范围，FFT在程序中有防溢出的措施，然而在定点运算的场合点数越多输入信号的动态范围越小。

三结论

在某些具体的应用场合，DFT与它的快速算法FFT相比可能更有优势，而FFT却存在某些局限性。在只需要求出部分频点的频率谱线时DFT的运算时间大为减少，所需的数据内存量也大为减小。DFT与FFT相比还具有变换点数或采样率选择更灵活、实时性更好、更容易控制溢出和动态范围、运算编程简单、可方便地在非DSP芯片中编程实现等优点。因此在实际应用中可以从具体条件出发来比较、选择DFT或FFT，而不应片面地由于FFT是所谓的DFT的快速算法而只选用FFT。

另外FFT运算速度快，但是，对样本序列的长度做出了要求，即要求样本序列的数量必须是2的N次幂，正确的傅里叶变换，样本序列应该是代表一个或整数个信号周期。对于固定频率的交流电测量，可以使采样频率为信号频率的M倍，且M=2^N。

但是，对于变频器输出测量，如果测量前基波未知，那么，就无法同时满足样本数为2^N和整周期的要求。DFT运算速度远远低于FFT，但是，对样本数没有要求。基于变频电量测量特殊性以及两种算法的特点，湖南银河电气有限公司的WP4000变频功率分析仪采用高性能的嵌入式微处理器，采用DFT算法进行谐波分析仪，由于强大的硬件支撑，在保证DFT算法运算量的同时，也兼顾了运算速度。这样，对于被测对象的样本序列长度要求低，处理起来更加灵活方便。

审核编辑 黄宇