单位脉冲的傅立叶变换是否存在？

在之前的文章中，我们研究了信号x（t）的傅立叶变换的一些特性。总结一下：

考虑到傅里叶变换是可逆的，我们可以写成：

这个概念如图1所示。

图1：傅里叶变换的反演运算

单位脉冲

让我们设想一个电路，它携带的电流在短时间内保持恒定值，然后消失。理想情况下，我们有：

其中持续时间T足够小。此外，我们假设i0=Q0/T，其中Q0是与电流i0值相关的电荷（图2）。这个理想的实验使我们能够控制电流的持续时间T，同时保留电荷值。因此，通过减小T，我们得到如图3所示的趋势。

图2：方程（3）的电流趋势

图3：持续时间T值减小的方程（3）的电流趋势。出于图形的原因，我们仅针对起始值突出显示i0/T

T的逐渐减小在数学上由极限通过运算表示：

这显然是无稽之谈。然而，运算（4）中所涉及的电荷是Q0。事实上，电荷由下式给出：

也就是说，图2中与T无关的矩形的面积：

因此，“电流”（4）仍然与电荷Q0相关。由于（4）的模糊性，我们使用了引号。然而，结果（6）是显而易见的，因为“电流”尽管有一个无穷大的峰值，但持续时间却无穷小，并且我们知道0·∞也是无穷的形式，在这种情况下，它返回的是最终量Q0。用符号表示就是：

其中δ（t）是狄拉克δ函数：

式（6）涉及：

这一特性可概括为如下式子：

其中g（t）是任意正则函数。因此，积分值等于δ函数自变量消失时g（t）所假定的值。由此可见，对于一个平移的δ函数，我们有：

请注意，δ函数的量纲是其参数的倒数。因此，在我们的例子中，它具有时间的倒数（即频率）的量纲。

根据δ函数，电流（4）可以写成如下：

这就是所谓的单位脉冲或数学脉冲（图4）。

我们已经考虑了电流的具体情况，但也可以考虑电压。这里，单位脉冲可以写为v（t）=Aδ（t），其中A是一个常数，量纲为V·s。

图4：单位脉冲的图形表示

傅里叶变换

任何单位脉冲在t=0处出现奇点都不会吓到我们，因为脉冲在任何情况下都会在无穷远处为零，因此我们预计傅里叶积分会收敛。事实上，对于特性（10），我们有：

也就是说，单位脉冲的傅立叶频谱是平坦的。从物理上讲，这意味着单位脉冲可以分解为无数个从−∞到+∞的正弦频率振荡。

结论

为了定义单位脉冲，我们从矩形脉冲（3）开始，它在数学上更简单。从正弦振荡开始也能得到同样的结果，正弦振荡从−T/2处开始并在T/2处抵消。

我们建议读者证明傅里叶变换是一个“sinc”函数，即sin（f−f0）/（f−f0）类型，其中f0是截断振荡的频率。通过减少后者的持续时间，sinc函数“变宽”，在T→0的极限范围内变得严格平坦，从而再现了单位脉冲的傅里叶变换。相反，如果持续时间T逐渐增加，则sinc函数“收缩”，并且对于T→+∞为δ（f−f0），即以f0为中心的δ函数。这并不奇怪，因为我们现在有一个频率为f0的从−∞到+∞的完整振荡，因此傅里叶频谱是一条以f0为中心的线，在数学上用δ（f−f0）表示。

我们的结论是，必须牢记以下双重性：